Kern einer Matrix in Z_5 bestimmen

Question

Aufgabe:

Sei $$M =\left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 3 } & { 2 } & { 4 } \\ { 2 } & { 4 } & { 0 } & { 1 } \\ { 2 } & { 0 } & { 2 } & { 2 } \end{array} \right) \in \mathcal { M } _ { 3,4 } \left( \mathbb { Z } _ { 5 } \right)$$

Bestimme ker(M)

Problem/Ansatz:

Ich forme die Matrix um und erhalte schließlich die umgeformte Matrix $$\left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 3 } & { 2 } & { 4 } \\ { 0} & { 3 } & { 1 } & { 3 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \in \mathcal { M } _ { 3,4 } \left( \mathbb { Z } _ { 5 } \right)$$

Wie kann ich denn daraus jetzt den Kern bestimmen? Setze ich römisch 2 = 0, so erhalte ich ja

3x₂ + 1x₃ + 3x₄ = 0

Umgeformt und in römisch 1 eingesetzt bringt mich das aber auch nicht weiter.

Eine Lösung, der Vektor (1,1,1,1), ist zwar recht offensichtlich, aber wie ich mathematisch drauf komme weiß ich leider nicht...

Danke für eure Hilfe

Answer 1

Du hast 4 Variablen aber nur 2 "richtige" Gleichungen.

Also kannst du x3 = s und x4=t frei wählen und hast dann

3x2 + s + 3t = 0

3x2 = -s - 3t = 4s + 2t  | :3 bzw. * 2

   x2 = 3s + 4t

und dann

x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4 = 0 gibt

x1 + 3*(3s + 4t ) + 2s + 4t = 0

x1 = 4s + 4t also

x = ( 4s+4t ; 3s+4t ; s ; t )

   = s* ( 4 ; 3 ; 1 ; 0 ) + t* ( 4 ; 4 ; 0 ; 1 )

Also  ( 4 ; 3 ; 1 ; 0 ) , ( 4 ; 4 ; 0 ; 1 ) eine Basis des Kern.

Comments

Ahh, das macht Sinn. Vielen Dank!

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 Kannst du mir bitte sagen wie du auf diesen Schritt kommst?