Kern einer Matrix bestimmen und Kern(f^m)

Question

Aufgabe:

Sei V=ℚ³und f:V→Vdie lineare Abbildung mit f(x,y, z)=(4y, 0, 5z).

Bestimmen Sie das kleinste m≥1 mit Kern(f^m) = Kern(f^m+i) für alle i∈ℕ

Problem/Ansatz:

Ich habe zuerst mal die Abbildung f in der Matrixschreibweise geschrieben. Als Basis habe ich B={x,y,z} gewählt.

Dann ist

f(x)=0*x+4*y+0*z

f(y)= 0*x+0*y+0*z

f(z)=0*x+0*y+0*z

So erhalte ich dann die darstellende Matrix A=((0,0,0),(4,0,0),(0,0,5)).

Es ist Kern(A)=<(1  0  0)^T>

A²=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,25)) und Kern(A²)=<( 1 0 0)^T, (0 1 0)^T>

A³=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,125)) und somit Kern(A²)=Kern(A³)

Somit ist das kleinste m gleich 2.

Stimmt das so?

Answer 1

Ist alles richtig, eventuell wäre zu ergänzen:

Die weiteren Potenzen von A sind alle von der Form:

Alles 0en nur unten rechts steht 5^n .

(Bei pingeligem Korrektor vielleicht sogar

mit Induktion beweisen.)  Also bleibt

dim(Kern) = 2 für alle folgenden Potenzen von A.

Comments

Alles klar. In Teilaufgabe b soll ich dann eine Zerlegung bestimmen, sodass

V=U⊕U′ wie in Fittings Lemma und auch dimU und dimU′  bestimmen.

Nach Fittings Lemma gibt es also f invariante Unterräume U und U' mit V=U⊕U′ und f eingeschränkt auf U ist nilpotent und f eingeschränkt auf U' ist invertierbar.

Kann mir jemand sagen, wie ich das hier machen muss?

Also U soll nilpotent sein, also gibt es ein m ∈ ℕ mit U^m=0

Und U' * U'^-1 = I_n  

aber wie bestimme ich U und U' und die Dimension der beiden?

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Ich denke mal so:

U=<( 1 0 0)^T, (0 1 0)^T>

U ' = < (0  0  1 )^T >

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Ok das hab ich verstanden. Und nun soll ich noch das Minimalpolynom der Einheitsvektoren e₁,e₂,e₃ bestimmen. Das charakteristische Polynom ist

χ_f(x)=x²(5-x).

Das entspricht gleichzeitig auch dem Minimalpolynom, da  m(A)=x_f(A)=0

Oder ein man mit den Einheitsvektoren eine andere Matrix A?

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Kann mir jemand sagen ob ich das mit den Einheitsvektoren und dem Minimalpolynom so richtig verstanden habe? Oder habe ich da einen Denkfehler??

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Also das mit dem Minimalpolynom hat sich erledigt.

Allerdings habe ich doch nochmal eine Frage

Lautet meine Matrix A

0  0  0

4  0  0

0  0  5

oder

0  4  0

0  0  0 

0  0  5

Weil zuerst habe ich gedacht, dass das obere gilt, aber das macht irgendwie keinen Sinn, denn zum Beispiel f(e₁)=(0  4  0)^T = Ae₁

und dann müsste das zweite stimmen.

Oder?

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Jas , das zweite stimmt; denn

f(e₁) = (4*0;0;5*0)= (0;0;0)^T  und das ist

die erste Spalte der Matrix. Entsprechend

für die zweite und dritte.

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Dankeschön.

Stimmt das hier dann gar nicht?

f(x)=0*x+4*y+0*z

f(y)= 0*x+0*y+0*z

f(z)=0*x+0*y+5*z

Weil daraus ergibt sich doch die erste Matrix?

Das muss dann auch so heißen oder?

f(x)=0*x+0*y+0*z

f(y)= 0*x+4*y+0*z

f(z)=0*x+0*y+5*z

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Kannst du mir vielleicht nochmal weiterhelfen mathef

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Es gibt ja kein f(x) sondern nur

f von der Spalte (x,y,z)^T bzw

        x                    4y            0   4   0             x
f   (   y   )     =         0     =      0   0   0     *      y
        z                    5z            0   0    5            z