Aloha :)
Teil 1) und 2) kannst du zusammen lösen.
Wir haben 2 Forderungen an einen Vektor \((x_1;x_2;x_3)^T\), wenn er zu \(V_1\) gehören soll:$$x_1-x_2+x_3=0\quad\land\quad x_1+2x_2=0\quad\implies\quad x_3=-x_1+x_2\quad\land\quad x_2=-\frac{1}{2}x_1$$$$\implies x_3=-x_1-\frac{1}{2}x_1=-\frac{3}{2}x_1\quad;\quad x_2=-\frac{1}{2}x_1$$Damit können wir alle Vektoren aus \(V_1\) in folgender Form schreiben:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\[0.5ex]-\frac{1}{2}x_1\\[0.5ex]-\frac{3}{2}x_1\end{pmatrix}=\frac{x_1}{2}\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}$$Man sieht nun sofort, dass der Nullvektor enthalten ist \((x_1=0)\), dass die Summe zweier Vektoren aus \(V_1\) wieder in \(V_1\) liegt$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}=\frac{x_1}{2}\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}+\frac{y_1}{2}\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}=\frac{x_1+y_1}{2}\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}$$und dass die Multiplikation eines Vekors aus \(V_1\) mit einer Konstanten wieder in \(V_1\) liegt$$\begin{pmatrix}\alpha x_1\\\alpha x_2\\\alpha x_3\end{pmatrix}=\alpha\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\frac{\alpha\,x_1}{2}\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}$$
\(V_1\) ist ein 1-dimensionaler Vekorraum mit einem möglichen Basisvektor \((2;-1;-3)^T\).
Bei \(V_2\) wird der Nullvektor \(\vec v=0\) nicht auf die Null abgebildet, also kann es kein Teilraum sein.
Bei \(V_3\) wird der Nullvetkor \(\vec v=0\) auf die Null abgebildet. Die Abgeschlossenheit bezüglich Addition$$\left<\vec v_1+\vec v_2|\vec w\right>=\left<\vec v_1|\vec w\right>+\left<\vec v_2|\vec w\right>=0+0=0$$und der Multiplikation$$\left<\alpha\vec v|\vec w\right>=\alpha\left<\vec v|\vec w\right>=\alpha\cdot0=0$$folgt aus der Linearität des Skalarproduktes. Hier handelt es sich also um einen Teilraum.
