Aufgabe:
Lineare Gleichungssysteme lösen (grafische Deutung - Verständnis)
Problem/Ansatz:
Ich habe folgendes Problem:
Ansatz: Gegeben sei eine Systemmatrix, die einen bestimmten Rang hat (z.B. 3x3 die den Rang 3 hat, d.h. die Spalten sind linear unabhängig), wenn man die Ergebnismatrix hinzufügt (zur erweiterten Systemmatrix), soll sich laut Kronecker und Kapelli der Rang nicht ändern, da sonst das Ergebnis linear unabhängig von der Systemmatrix, und so nicht in der von der Systemmatrix erzeugten linearen Hülle liegt.
Problem:
Jetzt hat der Professor nur folgendes aufgestellt, das mich eher verwirrt hat: Er hat bewiesen, wenn es zweie Lösungen gibt, die beide b repräsentieren, dann sind beide gleich => f(x1) = f(x2) = b => f(x1)-f(x2) = 0=> x1-x2 im Kern liegt und daraus eben bewiesen, dass x1 im Kern + x2 liegt (das ist für mich leider nicht verständlich, wie das zu verstehen ist)
Was mich noch viel mehr verwirrt war, war die Formel s = n - rg(A) => und die Lösung dann quasi daraus besteht: ker f + [x1 ... xs] (als Linearkombination, sodass b berechnet wird)
=>Wenn jetzt der Rang von einer 3x3 Matrix beispielsweise 3 wäre, dann würde das bedeutet, dass die Lösungsmenge nur x0, also den Kern umfasst (da xs dann leer wäre?) (praktisch müsste man alle Variablen gleich 0 setzen, um die Lösung 0 zu generieren - ??) (wenn der Rang nicht voll wäre, z.B. 2 gäbe es dann zumindest eine Lösung + ker-Lösung? In einem Video habe ich dazu beispielsweise gesehen, wenn die Dimension 3 wäre, der Rang 2 (von A und Ab), dann wäre ein Parameter gleich 0 zu setzen? (was wiederrum der Formel s = n - rg(A)) wiederspreche (wenn die Dimension 3 wäre und der Rang bspw. 2) und wie kann man sich das ungefähr grafisch vorstellen?
Vielen, vielen Dank schon mal, ich bin mittlerweile am verzweifeln :/ :)
