Für welche Zahlen a,b hat das GS keine /unendlich viele/genau eine Lösung?

Question

Ich habe folgendes Gleichungssystem:

x + y + z = 1
2x+ 3y+ az= 1
3x + 5y+ 4z= b

Hat jemand vll bitte eine Idee, wie ich das ganze machen könnte?
Dankr schonmal!!

Answer 1

x + y + z = 1
2·x + 3·y + a·z = 1
3·x + 5·y + 4·z = b

II - 2*I ; III - 3*I

y + z·(a - 2) = -1
2·y + z = b - 3

III - 2*I

z·(5 - 2·a) = b - 1
z = (b - 1)/(5 - 2·a)

Weißt du wie du jetzt hier deine Angaben ablesen kannst. Beachte mal die Sonderfälle des Bruches auf der rechten Seite. 

Nenner = 0 und Zähler = 0
Nenner = 0 und Zähler ≠ 0
Nenner ≠ 0

Comments

aber der nenner darf doch gar nie null sein? sonst dürft ich ja gar net dividieren? also a ≠ 2,5 sein oder?

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Dann schau die die Gleichung davor an

z·(5 - 2·a) = b - 1 

hier könnte (5 - 2a) = 0 sein. Aber was passiert dann.

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oder kann ich das etwa so interpretieren?

wenn nenner = 0 und zähler = 0 gibt es genau eine Lösung?
wenn nenner = 0 und zähler ≠ 0 gibt es keine lösung

und wenn nenner ≠ 0 gibt es unendlich viele lösungen?

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dann hab ich das b = 1 ist und somit genau eine lösung.

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Lieber so:

wenn nenner = 0 und zähler = 0 gibt es unendlich viele Lösungen
wenn nenner = 0 und zähler ≠ 0 gibt es keine lösung
und wenn nenner ≠ 0 gibt es genau eine lösung

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kann man das auch beweisen?

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Sicher

z·(5 - 2·a) = b - 1  

Für a = 2.5 und b = 1 steht dort 0 = 0 und das ist egal für welches z auch immer erfüllt. Und weil z hier unendlich viele Werteannehmen kann gibt es unendlich viele Lösungen

Wenn a= 2.5 und b ≠ 1 steht dort 0 = b - 1 und das ist nie erfüllt. Also gibt es keine Lösung.

Für a ≠ 2.5 und b ≠ 1 können wir unser z genau ausrechnen und erhalten eine Lösung.