Hi, man kann das folgendermaßen machen:
\( z^{6} \) = 128 Jetzt nehmen wie die Exponentialdarstellung von 128
\( z^{6} \) = 128 *\( e^{2π*i*k} \) ,wobei k eine ganze Zahl ist. Jetzt beide Seiten hoch \( \frac{1}{6} \)
z = 128^(1/6) *\( e^{\frac{2π*i*k}{6}} \) . Da wir eine Gleichung sechsten Grades haben, gibt es genau sechs Lösungen in den komplexen Zahlen, die mit einem Abstand von 360°/6 = 60° auf dem Kreis 128^(1/6) *\( e^{\frac{2π*i*k}{6}} \) liegen. Wir müssen also nur k = 0,1,2,3,4,5 , also sechs Werte, einsetzten.
k = 0: z = 128^(1/6)
k = 1: z = 128^(1/6) *\( e^{\frac{2π*i*1}{6}} \). Um das in die Form a+bi zu bekommen, kannst du die Eulersche Formel e^(ix) = cos(x) + i*sin(x) benutzen. Es ist dann 128^(1/6) *\( e^{\frac{2π*i*1}{6}} \) = 128^(1/6) *\( e^{1/3π*i} \) = 128^(1/6) * (cos(1/3π) + i*sin(1/3π)) = 128*(1/2+i*\( \sqrt{3} \) /2) = 2^(1/6) + i*\( \sqrt{3} \) *2^(1/6)
k= 2,3,4,5 funktionieren genauso wie k=1.
