Question

Wie bestimmt man eine eindeutig lineare Abbildung eines Vektorraums?

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Also ich habe den Vektorraum V=(F₇)3

In diesem Vektorraum sins folgenden Vektoren gegeben: v1=(3,2,1) v2=(0,1,6) v3=(1,0,2) sowie w1=(5,0,0) w2=(1,4,0) und w3=(2,2,1) gegeben.

Meine Aufgabe ist folgende:

Zeige, dass es eine eindeutige lineare Abbildung

ψ: V->V mit ψ(vi)=wi für i=1,2,3 gibt.

Kann ich das mit einem Lgs lösen?

Also mit Folgendem:

a(v1)+b(v2)+c(v3)=w1 (entsprechend für die anderen wi) und dann jeweils nach a, b oder c lösen oder ist der Ansatz falsch?

Aber ich verstehe nicht wie ich in diesem Vektorraum F₇ rechnen muss...

Answer 1

Du musst nur zeigen, das die v_i linear unabhängig sind;

denn dann bilden sie eine Basis von F₇^3 und

durch Angabe der Bilder einer Basis ist eine

lin. Abb. eindeutig festgelegt.

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Achso, also muss ich nur die lineare Unabhängigkeit ausrechnen? Dann weiß ich Bescheid, danke @mathef

Dazu gibt es eine weitere Teilaufgabe, wo man zeigen muss, dass diese Abbildung ein Isomorphismus ist.

Könnte mir da einer auch helfen? Ich weiß, dass ein Isormorphismus ein bijektiver Homomorphismus ist, aber zu dieser Aufgabe habe ich keinen Ansatz :/

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Da die Abbildung von einem 3-dim. Vektorraum in

einen anderen 3-dim. Vektorraum geht, reicht es zu zeigen:

Kern(ψ)={0}. Dann ist ψ injektiv und wegen der

Dimensionsgleichheit auch surjektiv.