Aloha :)
~plot~ 0,5x^2-x-1,5 ; x=-2 ; x=3 ; [[-3|4|-3|4]] ~plot~
Da ein Teil des Graphen oberhalb der \(x\)-Achse verläuft und ein Teil unterhalb der \(x\)-Achse, bestimmen wir zuerst die Nullstellen der Funktion:$$f(x)=\frac{1}{2}x^2-x-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\left(x^2-2x-3\right)=\frac{1}{2}(x+1)(x-3)$$Die Nullstellen liegen also bei \(x=-1\) und bei \(x=3\). Bei der Bestimmnug der Fläche \(F\) zwischen dem Graphen der Kurve und der \(x\)-Achse im Intervall von \([-2;3]\) müssen wir diese Nullstellen berücksichtigen:
$$F=\left|\int\limits_{-2}^{-1}f(x)dx\right|+\left|\int\limits_{-1}^{3}f(x)dx\right|=\left|\left[\frac{x^3}{6}-\frac{x^2}{2}-\frac{3x}{2}\right]_{-2}^{-1}\right|+\left|\left[\frac{x^3}{6}-\frac{x^2}{2}-\frac{3x}{2}\right]_{-1}^{3}\right|$$$$\phantom{F}=\frac{7}{6}+\frac{16}{3}=\frac{39}{6}=\frac{13}{2}$$
