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Aufgabe:

Bestimmen Sie die den Extremwert der Funktion

f(x,y)= 9*y^2+(4*x+58)*y+4*x^2−44*x−4

x0=

y0=

z0=


Problem/Ansatz:

Wie gehe hier vor, könnte mir jemand einen Lösungsweg geben?

!

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f(x,y)=...

??? z0 =

Ja genau so steht es in der Aufgabe..:/

Kann mir hier jemand helfen?

2 Antworten

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Aloha :)

Wir suchen die Extremwerte der Funktion$$f(x;y)=9y^2+(4x+58)y+4x^2-44x-4$$$$\phantom{f(x;y)}=4x^2-44x+58y+4xy+9y^2$$Kandidaten sind dort, wo der Gradient zu null wird:

$$0\stackrel!=\binom{\partial_x f}{\partial_y f}=\binom{8x-44+4y}{4x+58+18y}\implies\left\{\begin{array}{c}8x&+&4y&=&44\\4x&+&18y&=&-58\end{array}\right\}\implies$$$$\left\{\begin{array}{c}4x&+&2y&=&22\\4x&+&18y&=&-58\end{array}\right\}\implies 16y=-80\implies y=-5$$$$8x+4y=44\implies x=\frac{1}{8}(44-4y)\implies x=\frac{1}{8}(44+4\cdot5)\implies x=8$$Unser Kandidat für ein Extremum ist also der Punkt \((8;-5)\).

Ob es sich tatsächlich um ein Extremum handelt und von welchem Typ es ist, entscheiden wir mit Hilfe der Hesse-Matrix:$$H(x;y)=\left(\begin{array}{rr}\partial_{xx}f & \partial_{xy}f\\\partial_{yx}f & \partial_{yy}f\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}8 & 4\\4 & 18\end{array}\right)$$Da alle Hauptminoren postitiv sind$$\operatorname{det}(8)=8>0\quad\text{und}\quad\operatorname{det}\left(\begin{array}{rr}8 & 4\\4 & 18\end{array}\right)=8\cdot18-4\cdot4>0$$ist die Hesse-Matrix positiv definit. Das Extremum ist also ein Minimum. Da zusätzlich die Hesse-Matrix weder von \(x\) noch von \(y\) abhängt, liegt sogar ein globales Minimum vor. Wir fassen zusammen:

$$f(8;-5)=-325\quad\text{ist globales Minimum.}$$

Avatar von 152 k 🚀
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Bestimmen Sie die den Extremwert der Funktion:

f(x,y)=9y^2+(4x+58)y+4x^2-44x-4

f(x,y)= 9y^2+ 4 x y+ 58y+ 4x^2- 44x- 4

(d f(x,y))/dx=  4  y+ 8x- 44

(d f(x,y))/dy= 18y+4x+58

1.)y+ 2x- 11=0

2.)9y+2x+29=0

x=8

y=-5

f(8,-5)=9*(-5)^2+(4*8+58)*(-5)+4*8^2-44*8-4=-325

2.Ableitung nach x ist 8>0 -> M i n i m u m

2.Ableitung nach x ist 9>0 -> M i n i m u m

Mit z_0 kann ich nichts anfangen.

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