Extremwert Aufgabe, Kugel

Question

Aufgabe

- Zielfunktion in Abhängigkeit von der Höhe des kegels
In eine Kugel mit dem Radius r = 1,5 cm soll ein Kegel mit maximalem Volumen einbeschrieben werden

- Hauptfunktion

- Zielfunktion

- erste Ableitung der Zielfunktion

-die null Stellen der App ersten Ableitung an

- zweite Ableitung Zielfunktion

-maximal Volumen des Kegels

-Höhe und Radius des Kegels

Comments

die null Stellen der App ersten Ableitung an

Was möchtest Du damit mitteilen?

Wie lautet die Aufgabe?

Answer 1

x² + y² = r² --> x = √(r² - y²)

Zielfunktion

V = 1/3 * pi * √(r² - y²)² * (r + y) = pi/3·(r³ + r²·y - y³ - r·y²)

V' = pi/3·(- 3·y² - 2·r·y + r²) = 0 --> y = 1/3·r

Comments

Wichtig ist sich zuerst eine Skizze zu machen. Die nötigen Teile zu beschriften und wichtige Nebenbedingungen dabei aufzustellen. Dann kann man mit der Hauptfunktion auch die Zielfunktion aufstellen.

Answer 2

- Zielfunktion in Abhängigkeit von der Höhe des Kegels
In eine Kugel mit dem Radius R = 1,5 cm soll ein Kegel mit maximalem Volumen einbeschrieben werden

$V= \frac{1}{3}*π*r^2*h$ soll maximal werden.

 $(AF)^2=R^2-r^2$

$AF=\sqrt{R^2-r^2}$

$h=R+\sqrt{R^2-r^2}$

$h=1,5+\sqrt{2,25-r^2}$ Auflösen nach $r^2$:

$r^2=3h-h^2$

$V(h)= \frac{1}{3}*π*(3h-h^2)*h=\frac{1}{3}*π*(3h^2-h^3)$

$V´(h)=\frac{1}{3}*π*(6h-3h^2))$

$\frac{1}{3}*π*(6h-3h^2)=0$

$2h-h^2=0$

1.)$h=0$ kommt nicht in Betracht (Minimum)

2.)$h=2$

$r^2=3*2-4$

$r=\sqrt{2}$

Maximales Volumen:

$V= \frac{1}{3}*π*2*2=\frac{4}{3}*π$