Aloha :)
Wir suchen die Extremwerte der Funktion$$f(x;y)=9y^2+(4x+58)y+4x^2-44x-4$$$$\phantom{f(x;y)}=4x^2-44x+58y+4xy+9y^2$$Kandidaten sind dort, wo der Gradient zu null wird:
$$0\stackrel!=\binom{\partial_x f}{\partial_y f}=\binom{8x-44+4y}{4x+58+18y}\implies\left\{\begin{array}{c}8x&+&4y&=&44\\4x&+&18y&=&-58\end{array}\right\}\implies$$$$\left\{\begin{array}{c}4x&+&2y&=&22\\4x&+&18y&=&-58\end{array}\right\}\implies 16y=-80\implies y=-5$$$$8x+4y=44\implies x=\frac{1}{8}(44-4y)\implies x=\frac{1}{8}(44+4\cdot5)\implies x=8$$Unser Kandidat für ein Extremum ist also der Punkt \((8;-5)\).
Ob es sich tatsächlich um ein Extremum handelt und von welchem Typ es ist, entscheiden wir mit Hilfe der Hesse-Matrix:$$H(x;y)=\left(\begin{array}{rr}\partial_{xx}f & \partial_{xy}f\\\partial_{yx}f & \partial_{yy}f\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}8 & 4\\4 & 18\end{array}\right)$$Da alle Hauptminoren postitiv sind$$\operatorname{det}(8)=8>0\quad\text{und}\quad\operatorname{det}\left(\begin{array}{rr}8 & 4\\4 & 18\end{array}\right)=8\cdot18-4\cdot4>0$$ist die Hesse-Matrix positiv definit. Das Extremum ist also ein Minimum. Da zusätzlich die Hesse-Matrix weder von \(x\) noch von \(y\) abhängt, liegt sogar ein globales Minimum vor. Wir fassen zusammen:
$$f(8;-5)=-325\quad\text{ist globales Minimum.}$$
