Lineare Abbildung f: R^2 -> R^2. Finden Sie f(x y) → f(4 -3)

Question

Aufgabe der linearen Algebra:

Es geht im eine lineare Abbildung f: R^2 -> R^2 mit der Aufgabe:

\( f\left(\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1\end{array}\right)\right)=\left(\left(\begin{array}{c}-8 \\ 5\end{array}\right)\right), f\left(\left(\begin{array}{l}2 \\ 2\end{array}\right)\right)=\left(\left(\begin{array}{c}-9 \\ 4\end{array}\right)\right) . \)

Finden Sie, \( f\left(\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)\right) \) und \( f\left(\left(\begin{array}{c}4 \\ -3\end{array}\right)\right) \)

Answer 1

Aloha :)

Wir beschreiben die Abbildung \(f\) durch eine Matrix \(F\) und übertragen dazu die angegebenen Funktionswerte in die Matrix-Vektor-Schreibweise:$$\mathbf F\cdot\binom{-1}{1}=\binom{-8}{5}\quad;\quad\mathbf F\cdot\binom{2}{2}=\binom{-9}{4}$$Wir fassen beide Gleichungen zu einer Matrix-Gleichung zusammen:$$\mathbf F\cdot\left(\begin{array}{rr}-1 & 2\\1 & 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}-8 & -9\\5 & 4 \end{array}\right)$$und berechnen daraus die Abbildungsmatrix \(F\):

$$\mathbf F=\left(\begin{array}{rr}-8 & -9\\5 & 4 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rr}-1 & 2\\1 & 2 \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rr}-8 & -9\\5 & 4 \end{array}\right)\cdot\frac{1}{4}\left(\begin{array}{rr}-2& 2\\1 & 1\end{array}\right)$$$$\mathbf F=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{rr}7 & -25\\-6 & 14\end{array}\right)$$

Zurück in die Funktionsschreibweise heißt das:

$$f(x;y)=\mathbf F\cdot\binom{x}{y}=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{rr}7 & -25\\-6 & 14\end{array}\right)\binom{x}{y}=\frac{1}{4}\binom{7}{-6}x+\frac{1}{4}\binom{-25}{14}y$$$$f(x;y)=\binom{\frac{7}{4}x-\frac{25}{4}y}{-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}y}=\frac{1}{4}\binom{7x-25y}{-6x+14y}$$Insbesondere ist $$f(4;-3)=\binom{25,75}{-16,5}$$