Wie viele Möglichkeiten gibt es beim Ziehen mit Zurücklegen, wobei jeder Ball mindestens einmal gezogen werden muss?

Question

Ich habe mal eine Frage. zu diesem etwas erweiterteten Problem zum Ziehen mit Zurücklegen.

Angenommen wir haben eine Urne mit 4 unterscheidbaren Bällen. Jetzt ziehen wir 8 mal mit Zurücklegen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn jeder Ball mindestens einmal gezogen worden sein muss.

Answer 1

 

nette Aufgabe, aber ein wenig tricky :-)

Mit einer tollen Formel kann ich nicht dienen, aber mit einer Herleitung:

 

Wenn jeder der 4 Bälle zumindest einmal gezogen worden sein muss, so kann Ball 1 als erstes gezogen worden sein, dann bleiben für Ball 2 noch 7 "Plätze" übrig. Wenn auch Ball 2 gezogen wurde, bleiben für Ball 3 noch 6 "Plätze" übrig und schließlich für Ball 4 noch 5 "Plätze". Wir haben also 8 * 7 * 6 * 5 Möglichkeiten, die Bälle 1, 2, 3 und 4 auf die 8 Ziehungen zu verteilen, das sind 1680 Möglichkeiten.

 

Für jede dieser Belegungen bleiben 4 "Plätze" frei, die beliebig belegt werden können, also für Platz 1: 4 Möglichkeiten, für Platz 2 ebenfalls 4 Möglichkeiten usw.

Also haben wir für die verbliebenen 4 "Plätze" 4 * 4 * 4 * 4 = 4⁴ = 256 Möglichkeiten.

 

Insgesamt kommen wir damit auf

1680 * 256 = 430 080 Möglichkeiten.

 

Besten Gruß

Comments

diese Lösung ist leider falsch, da Möglichkeiten doppelt gezählt werden (Mississippi-Problem):

Wenn die gelegte rote Kugel auf Platz 1 ist und eine zufällige Kugel auf Platz 5 auch rot, oder anders herum, ist das die gleiche Möglichkeit, wird aber in der obigen Rechnung doppelt gezählt.

Man erkennt den Fehler leicht, wenn man eine Wahrscheinlichkeit dazu berechnet. Da kommt ein Wert >1 raus... :(