obere Hälfte der Einheitskreisscheibe berechnen, Integration im n-dim.

Question

Sei K die obere Hälfte der Einheitskreisscheibe. Berechnen Sie

\( \int\limits_{K}^{}\) x²y dV

Ich hätte jetzt folgenden Ansatz gemacht:

 \( \int\limits_{-1}^{wurzel(1-y^2)} \)(\( \int\limits_{0}^{1} \) x²y dy)dx

Danach würde ich die Integrale einfach wie gewohnt lösen.

Ich wollte mich mal erkundigen ob ich das einfach so machen kann oder hab ich da etwas übersehen?

Vielen Dank!

Answer 1

Also

        \(\begin{aligned} \int_{0}^{1}x^{2}y\,\mathrm{d}y & =\left[\frac{1}{2}x^{2}y^{2}\right]_{y=0}^{y=1}\\ & =\frac{1}{2}x^{2}\cdot1^{2}-\frac{1}{2}x^{2}\cdot1^{2}\\ & =\frac{1}{2}x^{2} \end{aligned}\)

und dann

        \(\begin{aligned} \int_{-1}^{\sqrt{1-y^{2}}}\frac{1}{2}x^{2}\mathrm{d}x & =\left[\frac{1}{6}x^{3}\right]_{1}^{\sqrt{1-y^{2}}}\\ & =\frac{1}{6}\sqrt{1-y^{2}}^{3}-\frac{1}{6}\cdot1^{3}\\ & =\frac{1}{6}\left(\left(1-y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}-1\right)\text{.} \end{aligned}\)

Siehst du das Problem?

In den Integrationsgrenzen des äußeren Integrals darf die Integrationsvariable des inneren Integrals nicht vorkommen. Wohl aber umgekehrt.

Comments

Ah ja ich sehe es, vielen Dank also kann ich das Integral quasi folgendermaßen umschreiben:

\( \int\limits_{0}^{1} \) (\( \int\limits_{-1}^{wurzel(1-y^2)} \) x²y dx) dy

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Sieht schon besser aus, aber ...

Sei K die obere Hälfte der Einheitskreisscheibe

Die kleinste \(x\)-Koordinate, die vorkommen kann, ist \(-1\), die größte ist \(1\). Also

        \(\int\limits_{-1}^1\dots\, \mathrm{d}x\)

An z.B. der Stelle \(x=0{,}5\) ist die obere Hälfte der Einheitskreisscheibe unten begrenzt durch \(y=0\) und oben begrenzt durch \(y=\sqrt{1-0{,}5^2}\).

Allgemeiner ausgedrückt ist die obere Hälfte der Einheitskreisscheibe unten begrenzt durch \(y=0\) und oben begrenzt durch \(y=\sqrt{1-x^2}\). Also

         \(\int\limits_{-1}^1\int\limits_{0}^{\sqrt{1-x^2}}\dots\, \mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\).

Insgesamt ergibt dies

        \(\int\limits_{-1}^1\int\limits_{0}^{\sqrt{1-x^2}}x^2y\, \mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\).