Aloha :)
Die Scheibe des Einheitskreises können wir in Polarkoordinaten beschreiben:$$\vec r=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad r\in[0;1]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$Beim Übergang zu Polarkoordinaten wird das Flächenelement verzerrt, was wir ausgleichen müssen:$$dx\,dy=r\,dr\,d\varphi$$Damit können wir das Integral konkret formulieren:
$$I=\iint\limits_B\sqrt[4]{x^2+y^2}\,dx\,dy=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\,\int\limits_{r=0}^1\sqrt[4]{r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi}\;r\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{I}=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\cdot\int\limits_{r=0}^1\sqrt[4]{r^2}\;r\,dr=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\cdot\int\limits_{r=0}^1r^{3/2}\,dr=\left[\varphi\right]_0^{2\pi}\cdot\left[\frac25r^{5/2}\right]_0^1=2\pi\cdot\frac25=\frac{4\pi}{5}$$
