Es ist ja LA*B = LA o LB . Also Rang(A*B) = dim Bild ( LA o LB )
Durch die Abbildung LA o LB . werden ja die Elemente von ℝ^n zunächst
mittels LB nach ℝ^m und von dort mittels LA nach ℝ^k mit geeigneten n,m,k
abgebildet. Nach dem ersten Schritt landet man in Bild(LB) und der
zweite Schritt geht also mit LA von Bild(LB) nach ℝ^k es wird also
L ' , die Einschränkung von LA auf Bild(LB) betrachtet.
Für diesen 2. Schritt besagt also der Dimensionssatz:
dim ( Bild(L') ) = dim Bild(LB) - dim Kern (L ' )
Nun ist aber ja dim ( Bild(L') ) = dim Bild ( LA o LB ) = Rang ( A*B)
und dim Bild(LB) = Rang (B) und
Kern (L ' ) ist der Kern von der Einschränkung von LA auf Bild(LB) ,
also gleich Kern ( LA ) ∩ Bild(LB) . q.e.d.
