Berechnen Sie die Länge der Kurve

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Länge der Kurve \( \vec{c}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben durch

\( \vec{c}(t):=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2} t^{2}+2 t \\ \frac{1}{2} t^{2}+2 t+5\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Die Ableitung von c(t) ist c´(t)=(t+2,t+2)

Nun wollte ich c´(t) in die Formel

\( \int\limits_{0}^{1} \) Ι c´(t)Ι dt einsetzen

Das ist aber nicht richtig.Kann mir jemand dabei eventuell helfen ?

Danke

Comments

Wie kommst Du darauf, dass das nicht richtig ist? Liebe Grüße

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Ich habe mich beim Integral verrechnet und dadurch ein falsches Ergebnis bekommen. Das hat mich verunsichert wodurch ich mir nicht ganz so sicher war, ob die Rechnung richtig ist. (Zeitdruck)

Ich habe anscheinend die Wurzel vergessen.

Answer 1

Aloha :)

Eigentlich hast du alles richtig gerechnet. Die Substitution lautet:

$$L=\int\limits_C\left|d\vec r\right|=\int\limits_0^1\left|\frac{d\vec r(t)}{dt}\right|\,dt=\int\limits_0^1\left\|\binom{t+2}{t+2}\right\|dt=\int\limits_0^1\sqrt{2(t+2)^2}\,dt=\int\limits_0^1\sqrt2(t+2)\,dt$$$$\phantom{L}=\sqrt2\left[\frac{t^2}{2}+2t\right]_0^1=\sqrt2\left(\frac{1}{2}+2\right)=\frac{5}{2}\sqrt2$$

Comments

Oh ja,danke.

Ich habe mich wohl einfach bei dem Integral später verrechnet.

Wie auch immer bin ich am Ende bei 12 2/3 rausgekommen ....

(Zeitdruck)

Ich habe anscheinend die Wurzel vergessen.

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Substituiere doch mal \(x= \frac 12t^2 + 2t\), dann wird daraus $$\vec c(x) = \begin{pmatrix}x\\ x+5\end{pmatrix}$$was eine poplige Gerade der Steigung \(1\) ist. Zu integriern im Intervall von \(x=0\) bis \(x=\frac 52\) ist dies wiederum die Länge der Diagonale im Quadrat der Seitenlänge \(\frac 52\) $$\int_{t=0}^{1} \vec c = \frac 52 \sqrt 2$$

Answer 2

Hallo

was hast du denn im Integral stehen, und was hast du raus? eigentlich ist dein Vorgehen richtig.

da das eine Gerade y=x+5 ist von x=0 bis x=2,5

kannst du die Länge ja auch ohne Integral bestimmen?

Gruß lul