Kanonisches Skalarprodukt, senkrecht, linear usw. Zeigen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:

Question

Aufgabe:

Zeigen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
(a) Wir versehen ℝ³ mit dem kanonischen Skalarprodukt. Es existiert eine lineare Abbildung
Φ : ℝ² → R³ mit ⟨(1, 1, 1)⟩ senkrecht zu im(Φ).

(b) Es gibt eine lineare Abbildung Φ : ℂ² → ℂ² mit
Φ(1, i) = (1,0); Φ(1, -i) = (0, 1); Φ(0, 1) = (i, -i)

Answer 1

Hallo,

betrachte zu a) \( \phi: \, \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3, \, x \mapsto A\cdot x \), mit \( A = \begin{pmatrix} 0 &0 \\ 1& 0 \\ -1&0 \end{pmatrix} \). Dann ist  \( \text{im}(\phi) = \langle \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\1\\-1 \end{pmatrix}}_{:=u} \rangle \) und damit \( \langle u, \begin{pmatrix} 1 \\1\\1 \end{pmatrix} \rangle = 0 \).

Aussage b) ist falsch. Da \( \phi \) linear ist, würde folgen

\( \phi((1,-i)) = \phi(-2i \cdot (0,1) + (1,i)) = -2i \cdot \phi(0, 1) + \phi(1, i) = -2i \cdot (i, -i) + (1,0) = (3, -2) \neq (0,1) \)