Skalarprodukt bestimmen und Funktion soll senkrecht aufeinander sein

Question

Aufgabe:

Auf dem Vektorraum C_f der stetigen reellwertigen Funktionen auf dem Intervall [0;1] wird zu f,g∈C_f das Skalarprodukt ⟨f,g⟩ betrachtet, das durch
⟨f,g⟩= \( \int\limits_{0}^{1} \) f(x)g(x)dx definiert ist.
1.) Bestimme das Skalarprodukt von f(x) = -2x-3 mit g(x) = x² + 1.

2.) Bestimme den Parameter c so, dass die Funktion f(x)=−2x−3 senkrecht zu der Funktion h mit h(x)=x+c ist.

Problem/Ansatz:

1.) Integral gebildet und aufgeleiet. Dann obere Grenze minus die untere Grenze berechnet und als Ergebnis kommt -1 raus. Weiß jetzt nicht, was ich damit anfangen soll bzw. wie ich damit weiterrechnen soll.

2.) Kenne es eigentlich so, dass dann eine Funktion senkrecht zueinander steht, wenn m₁ * m₂ = -1 ist. Kann ja dann hier gar nicht erst sein, weil wenn man die beiden m's multipliziert, ergibt das schon keine -1 mehr.

Answer 1

Hallo :-)

Bei 1.) gilt:

$$ \langle f,g \rangle=\int_0^1(-2x-3)\cdot (x^2+1) dx=\int_0^1(-2x^3-3x^2-2x-3)dx=-5.5 $$

Bei 2.) rechnest du einfach das Integral aus und bestimmst \(c\) so, dass das Integral \(0\) wird. Mit Orthogonalität so wie du es hier siehst, hat das erstmal nichts zu tun.

Comments

Wie bist du auf das Integral gekommen? Ich habe bei der Aufleitung -x^3-x raus.

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Zu der 2.) Welches Integral ist gemeint? Integral von f(x)?

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Benutze die dir bekannten Inegtraionsregeln bzw Stammfunktionen. Du musst wissen, wie man Potenzfunktionen integriert.

Bei 2.) Musst du nur in das Skalarprodukt einsetzen und das entstandene Integral lösen.

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\( \int\limits_{0}^{1} \) (-2x-3)*(x-\( \frac{13}{24} \) )dx ist gleich 0.

Ok, ist so dann richtig. Danke! Wie würde ich das ohne den solve Befehl, also ohne den TR machen?

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Betrachte doch einfach

$$ 0=\langle f,h \rangle=\int_0^1(-2x-3)\cdot (x+c) dx=\int_0^1(-2x^2-3x-2cx-3c)dx=\int_0^1(-2x^2+(-3-2c)x-3c) dx $$

Du musst nur noch die rechte Seite integrieren und dann nach \(c\) auflösen.