Können Sie mit der Aufgabe f etwas anfangen?
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Aufgabe 24: Wall
Gegeben ist die Funktionenschar \( f_{a} \) mit der Gleichung \( f_{a}(x)=\frac{1}{2} x^{3}-a x^{2}+\frac{1}{2} a^{2} x, a \in \mathbb{R}, a \neq 0 \)
Die zugehörigen Graphen sind \( \mathrm{G}_{\mathrm{a}} \).
\( \frac{1}{2} x^{3}-3 x^{2}+\frac{9}{2} x=\frac{1}{2} x^{2}-6 x+\frac{9}{2} \)
a) Bestimmen Sie die Nullstellen von \( f_{a} \) und geben Sie das Verhalten der Funktionswerte von \( f_{a} \) mit \( x \rightarrow+\infty \) und \( x \rightarrow-\infty \) an. Begründen Sie, dass kein Graph \( G_{a} \) punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung verläuft.
b) Jeder Graph \( \mathrm{G}_{\mathrm{a}} \) hat genau zwei lokale Extrempunkte. Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der lokalen Extrempunkte von \( \mathrm{G}_{3}(\mathrm{a}=3) \).
c) Die von a abhängigen Extrempunkte von \( G_{a} \) sind \( E_{1}(a \mid 0) \) und \( E_{2}\left(\frac{a}{3} \mid \frac{2}{27} a^{3}\right) \).
Entscheiden Sie ohne weitere Rechnung, für welche reelle Zahl a der Extrempunkt \( E_{2} \) ein lokaler Tiefpunkt des zugehörigen Graphen \( \mathrm{G}_{\mathrm{a}} \) ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung.
Untersuchen Sie, ob es eine reelle Zahlen a gibt, für die das Quadrat mit der Seitenlänge \( \bar{E}_{1} E_{2} \) einen extremen Flächeninhalt hat.
d) Die Tangente im Wendepunkt an den Graphen \( G_{a} \) schließt für a>0 mit den Koordinatenachsen jeweils ein Dreieck ein. Begründen Sie, dass dieses Dreieck im I. Quadranten liegt und ermitteln Sie den Wert des Parameters a für den Fall, dass das beschriebene Dreieck gleichschenklig ist. [Zur Kontrolle: \( W_{a}\left(\frac{2}{3} a \mid \frac{1}{27} a^{3}\right) \) ]
Die Fläche, die der Graph der Funktion \( f_{3} \) (siehe Abbildung)
mit der \( x \)-Achse einschließt, kann für \( 0 \leq \mathrm{x} \leq 3 \) modellhaft als
Querschnittsfläche eines Walls aufgefasst werden.
e) Berechnen Sie den Inhalt der Querschnittsfläche des
Walls.
f) Zur Untersuchung des Walls werden geradlinige
Probebohrungen durchgeführt, die jeweils senkrecht ersten Bohrung verlaufen. Ermitteln Sie den \( x \)-Wert des Punktes \( B_{2} \), in dem die zweite Bohrung beginnen muss.
Für genau eine Probebohrung im Bereich \( 1<x<3 \) gilt, dass sie zu keiner der anderen Probebohrungen parallel verläuft. Geben Sie die Koordinaten des Punktes auf \( \mathrm{G}_{3} \) an, in dem diese Bohrung beginnt und begründen Sie Ihre Angabe.
g) Aus Sicherheitsgründen wird der Wall auf das Intervall \( [-1 ; 3] \) verbreitert. Die Querschnittsfläche soll dabei verdoppelt werden. Zur Modellierung der neuen Wallbegrenzung für diese Fläche wird der Graph einer Funktion 4. Grades genutzt, der in den Punkten \( P_{1}(-1 \mid 0) \) und \( P_{2}(3 \mid 0) \) horizontal ausläuft. Geben Sie fünf Bedingungen an, mit denen man die Funktionsgleichung dieser Funktion 4. Grades bestimmen kann.
