"Invertierbarkeit" einer Matrix ohne Rechnung

Question

ich muss bei einer Aufgabe zeigen, dass die Matix invertierbar ist. Dazu gibt es einen Hinweis, welcher sagt, dass man A^-1 durch ein geeignetes Argument bestimmen kann.

Das Argument (laut meinem Skript) lautet:

A invertierbar ⇔ det(A) ungleich 0.

Aber ich verstehw nicht wie ich dieses Argument bei folgender Matrix anwenden kann:

A=

1	3	4	0
0	1	5	0
0	0	2	0
0	0	0	2

Answer 1

Aloha :)

Wenn eine Matrix Dreieckgestalt hat, wie hier, ist ihre Determinante einfach das Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen:$$\operatorname{det}(A)=1\cdot1\cdot2\cdot2=4\ne0\quad\implies\quad\text{invertierbar!}$$Das kann man auch völlig ohne Rechnung sehen, weil auf der Hauptdiagonalen keine \(0\) steht und daher das Produkt bzw. die Determinante \(\ne0\) sein muss. Darauf zielt die Frage vermutlich ab ;)

Answer 2

Warum ist die Determinante hier zwangsweise ungleich 0. Bilde doch mal die Determinante indem du nach der 4. Zeile oder 4. Spalte entwickelst.

Comments

Ah achso, also ich muss die Determinante bestimmen. Wenn diese dann ungleich 0 ist, ist die Matrix invertierbar.

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Richtig. D.h. du brauchst natürlich nicht den exakten Wert der Determinante bestimmen solange du auch nur begründen kannst, dass diese nicht Null ist. Aber da ich erstmal annehme, dass du keine Ahnung hast wie du es begründen kannst, ist ein guter Schritt es erstmal zu berechnen und danach zu überlegen ob man es nicht auch hätte begründen können.