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Wir untersuchen die folgende Potenzreihe auf Konvergenz:
$$p(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\cdot(x-1)^k\quad;\quad a_k\coloneqq\frac{1}{k\cdot 3^k}$$
Zunäschst bestimmen wir den Konvergenzradius als Grenzwert des folgenden Quotienten:
$$\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=\frac{\frac{1}{k\cdot 3^k}}{\frac{1}{(k+1)\cdot 3^{k+1}}}=\frac{(k+1)\cdot 3^{k+1}}{k\cdot 3^k}=\frac{k+1}{k}\cdot\frac{3^{k+1}}{3^k}=\left(1+\frac{1}{k}\right)\cdot3\stackrel{(k\to\infty)}{\to}=3$$Der Konvergenzradius der Potenzreihe ist daher \(r=3\). Die Potenzreihe \(p(x)\) konvergiert also sicher für alle \(x\), für die gilt:$$|x-1|<r=3\implies -3<x-1<3\implies -2<x<4\implies x\in(-2|4)$$
Wir sollen alle \(x\in\mathbb R\) bestimmen, für die die Reihe konvergiert, daher müssen wir die Ränder des gefundenen Intervalls noch separat untersuchen.
$$p(-2)=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k\cdot3^k}\cdot(-3)^k=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k}=-\sum\limits_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}\cdot\frac{1^k}{k}$$$$\phantom{p(-2)}=-\ln(1+1)=-\ln(2)$$Wenn du die Potenzreihe für \(\ln(1+x)\) nicht kennst, kannst du die Konvergenz auch mit dem Leibniz-Kriterium begründen. Demnach konvergieren alternierenden Summen der Form \(\sum\limits_{k=0}^\infty(-1)^ka_k\), wenn \(a_k\) eine monotone Nullfolge ist.$$p(4)=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k\cdot3^k}\cdot3^k=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k}\to\infty$$Die harmonische Reihe divergiert.
Also können wir unser gefundenes Konvergenzintervall erweitern: \(\boxed{x\in[-2|4)}\).
