Lagebeziehung von g&h

Question

Aufgabe:

Untersuchen sie die gegenseitige Lage von g und h:

a) g: x= 2/2/-1 +r• 4/-1/0 ;h:x= 1/1/0+ s• -2/0.5/-1

b) g:x= 1/2/3+ r• -1/2/5; h:x= -6/16/38 +s• 3/-6/-15

c) g:x=1/2/3 +r• -1/2/5; h:x= 10/2/0+ s• 1/1/2

d) g:x= 1/0/1 +r• 1/-3/2 ; h:x= 3/2/0 + s• 1/5/-1

Comments

Entweder sind die beiden Geraden identisch oder parallel oder haben einen gemeinsamen Schnittpunkt oder sind windschief.

Wenn sie sich schneiden (3. Fall), dann hat g=h eine eindeutige Lösung. Wenn identisch, dann beliebig viele Lösungen. Wenn parallel, ist der eine Richtungsvektor ein skalar Vielfaches des anderen.

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Ja, dass Prinzip habe ich verstanden. Es scheitert nur leider an der Umsetzung:/

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Hast du dich bei a) vertippt?

Wenn die dritte Koordinate eines Richtungsvektors etwas geändert wird, sind die Geraden parallel.

:-)

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Vielen Dank für alle Antworten. Ich habe es nocheinmal durchgerechnet und jetzt verstanden :)

Answer 1

a) Formuliere die ersten beiden Komponentengleichungen:

(1) 2+4r=1-2s

(2) 2-r=1+0,5s

Dies System hat keine Lösung. Da die Richtungsvektoren auch nicht kollinear sind, sind die Geraden windschief zueinander.

Answer 2

b) g:x= 1/2/3+ r• -1/2/5; h:x= -6/16/38 +s• 3/-6/-15

[-1|2|5]*(-3)=[3|-6|-15]

Die Richtungsvektoren sind linear abhängig, also sind die Geraden parallel oder identisch.

Die Differenz der Ortsvektoren ist auch ein Vielfaches der Richtungsvektoren.

[1|2|3]-[-6|16|38]=[7|-14|-35]=(-7)*[-1|2|5]

Also identisch.

:-)

Answer 3

Hallo,

prüfe zunächst, ob ein Richtungsvektor ein Vielfaches des anderen ist, zum Beispiel bei

a) gibt es ein k, so dass folgendes Gleichungssystem erfüllt ist:

\(k\cdot \begin{pmatrix} 4\\-1\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\\0,5\\-1 \end{pmatrix}\\\text{Das ergibt}\\ 4k=-2\\-k=\frac{1}{2}\\0=-1\)

Auch wenn die ersten beiden Gleichungen K = -0,5 ergeben, ist durch den Widerspruch in der 3. Zeile gezeigt, dass die Geraden nicht parallel oder identisch sind.

Jetzt bleiben noch die Optionen "windschief" oder Schnittpunkt.

Um das zu berechnen, setzt du die Geraden gleich und löst nach r oder s auf:

\(\begin{pmatrix} 2\\2\\-1 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 4\\-1\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\1\\0\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -2\\0,5\\-1 \end{pmatrix}\\ \text{Daraus ergibt sich das Gleichungssystem}\\ 2+4r=1-2s\\2-r=1+0,5s\\-1=-s\\[20pt]\\ 4r+2s=-1\\-r-0,5s=-1\\1=s\)

Teile die 1. Zeile durch 4 und addiere sie zur zweiten ⇒ 0 = -1,25

Dieser Widerspruch zeigt, dass die Geraden windschief zueinander sind.

Auf die gleiche Art und Weise kannst du auch die Lagebeziehungen der anderen Geraden zueinander berechnen.

Du kannst dich gerne wieder melden, wenn du dazu noch Hilfe brauchst.

Gruß, Silvia

Answer 4

Wobei scheitert es genau bei der Umsetzung?

[2, 2, -1] + r·[4, -1, 0] = [1, 1, 0] + s·[-2, 0.5, -1] → windschief

[1, 2, 3] + r·[-1, 2, 5] = [-6, 16, 38] + s·[3, -6, -15] → identisch

[1, 2, 3] + r·[-1, 2, 5] = [10, 2, 0] + s·[1, 1, 2] → schneidend

[1, 0, 1] + r·[1, -3, 2] = [3, 2, 0] + s·[1, 5, -1] → windschief