Wie kürze ich die Rechnungen?

Question

Hallo,

Ich habe große Probleme mit dem kürzen.

Als Beispiel nehme ich mal 3 Aufgaben, bei denen ich jeweils nicht weiß wie man auf die 2. Zeile kam.

1) \( n^{3} \)+3\( n^{2} \)+5n+3

= (\( n^{3} \)+2n)+(3\( n^{2} \)+3n+3)

2) \( n^{3} \)+6\( n^{2} \) +9n+4

= (n+1)(\( n^{2} \)+5n+4)

3) (2\( n^{2} \)+3n+1

= (2n+1)(n+1)

Wäre denn einer so lieb und könnte mir erklären, wie man es schafft so zu kürzen?

Ich komme einfach beim besten Willen nicht drauf..

Vielen dank schonmal für eure Mühe :)

Answer 1

Hallo,

1) \( n^{3} \)+3\( n^{2} \)+5n+3

= (\( n^{3} \)+2n)+(3\( n^{2} \)+3n+3)

Hier wurden die 5n geschrieben als 2n + 3n

\(n^3+3n^2+2n+3n+3\\ \text{dann die Summanden vertauscht}\\n^3+2n+3n^2+3n+3\\ \text{und zuletzt noch Klammern gesetzt}\\ (n^3+2n)+(3n^2+3n+3)\)

Mit Kürzen hat das allerdings wenig zu tun.

Gruß, Silvia

Comments

Hallo Silvia:)

Danke für deine Antwort.

Wie wurde es denn bei den anderen beiden Aufgaben gemacht?

Würdest du mir das bitte auch erklären :)

Das wäre echt sehr nett

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Bei der b) wurde eine Polynomdivision durchgeführt

\((n^3+6n^2+9n+4):(n+1)=n^2+5n+4\)

Hier der Rechenweg mit "x"

https://www.matheretter.de/rechner/polynomdivision?div1=x^3+6x^2+9x+4&div2=x+1

bei c) ebenso

https://www.matheretter.de/rechner/polynomdivision?div1=2x^2+3x+1&div2=x+1

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Welche b)?`            .

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Ok, ich war offenbar auf dem Buchstabentrip, bin aber dennoch zuversichtlich, dass der FS weiß, welche Aufgaben ich meine.

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Okay, "Buchstabentrip" kannte ich noch nicht! :-)

"Polynomdivision" ist aber nur eine Möglichkeit.

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Dann sei so nett und nenne uns die Alternative(n).

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Hallo Gast az0815 :)

Würdest du die anlternativen auch einmal nennen können?

Das wäre sehr nett

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Ja gerne. Aber sicher nicht mehr vor morgen Nachmittag!

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Wir werden dich ggfs. daran erinnern ;-)

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Ja, gerne.

                                    .

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@az0815 Erinnerung!

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$$n^3+6n^2+9n+4 = \\ \left(n^3+6n^2+5n\right)+\left(4n+4\right) = \\ n\cdot\left(n^2+6n+5\right)+4\cdot\left(n+1\right) = \\ n\cdot\left(n+5\right)\cdot\left(n+1\right)+4\cdot\left(n+1\right) = \\ \left(n\cdot\left(n+5\right)+4\right)\cdot\left(n+1\right) = \\ \left(n^2+5\cdot n+4\right)\cdot\left(n+1\right).$$

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Dieser pfiffige Ansatz gefällt mir.

Damit könnte man dann Nr. 1 als

\((n^2+2n+3)\cdot(n+1)\) schreiben.

Werde ich mir merken, danke.

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Sieht ähnlich aus wie meine Antwort.

:-)

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Sieht ähnlich aus wie meine Antwort.

Nicht ganz, deins ist schöner! :-)

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Monty, deine Antwort hatte ich übersehen, aber sie ist natürlich genauso pfiffig :-)

Answer 2

2)

\( n^{3} \)+6\( n^{2} \) +9n+4

=n^3+n^2+5n^2+5n+4n+4

=n^2(n+1)+5n(n+1)+4(n+1)

=(n^2+5n+4)(n+1)

3)

2n^2+3n+1

=2n^2+2n+n+1

=2n(n+1)+1*(n+1)

=(2n+1)*(n+1)

:-)

Answer 3

n^3 + 3n^2 + 5n + 3
als kürzen würde ich das nicht bezeichen
was du gemacht hast

Umformung
n^3 + 3n^2 + 2n + 3n + 3
n^3 + 2n + 3n^2 + 3n + 3
( n^3 + 2n ) + ( 3n^2 + 3n + 3 )

Answer 4

1) und 2) 3) sind grundsätzlich verschieden.

Gekürzt wurde aber weder beim ersten noch bei den anderen.

Bei a) wurde der Term in Summanden zerlegt, dass geht fast immer und ist beliebig veränderbar.

Bei b) und c) wurde der Ausdruck faktorisiert, das geht nicht immer, doch e geht, wenn du für den Ausdruck eine reelle Nullstelle finden kannst. Dann ist es möglich den zweiten Faktor durch Polynomdivision zu finden.

Also

2) $$ n^{3} +6n^{2} +9n+4 = (n+1)(n^{2}+5n+4)$$

$$n^{3} +6n^{2} +9n+4=0$$

Durch Ausprobieren

$$ n_1=-1$$

$$(-1)^3+6*(-1)^2+9(-1)+4=-1+6-9+4=0$$

Dann die Polynomdivision

$$(n^{3} +6n^{2} +9n+4)/(n+1)=n^2+5n+4$$

$$-(n^3+n^2)$$

$$5n^2+9n$$

$$-(5n^2+5n)$$

$$4n+4$$

$$-(4n+4)$$

$$0$$

Wie beim Rattenschwanzrechnen aus der Grundschule, nur mit Buchstaben.