Beweise mit vollständiger Induktion: 1/(1 · 2) + 1/(2 · 3) + ... + 1/(n · (n + 1)) = n/(n + 1)

Question

Vom Duplikat:

Titel: Vollständige Induktion: Hat jemand eine Lösung für die Aufgaben bzw. eine Lösungsidee?

Stichworte: vollständige,induktion

Aufgabe:

1) Beweisen Sie mithilfe vollständiger Induktion: Für alle n ∈ N gilt:
1/(1 · 2) + 1/(2 · 3) + ... + 1/(n · (n + 1)) = n/(n + 1)

2) Beweisen Sie: Für alle t, n, m ∈ N gilt: Ist t ein Teiler von n und ebenfalls von m, so ist t auch ein Teiler von
(n − 1) · m + n.

Problem/Ansatz: Leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht voran. Hat jemand eine Lösung für die Aufgaben bzw. eine Lösungsidee? Bei Aufgabe 1 bin ich nach der Induktionsannahme komplett raus und bei 2) habe ich leider keinen Schimmer. Da ich nächste Woche die Klausur schreibe, hätte ich diese Übungsaufgabe hinbekommen müssen...Vielen Dank im Voraus, Freunde! :)

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Vom Duplikat:

Titel: Vollständige Induktion: Hat jemand eine Lösung für die Aufgaben bzw. eine Lösungsidee?

Stichworte: vollständige,induktion

Aufgabe:

1) Beweisen Sie mithilfe vollständiger Induktion: Für alle n ∈ N gilt:
1/(1 · 2) + 1/(2 · 3) + ... + 1/(n · (n + 1)) = n/n + 1

2) Beweisen Sie: Für alle t, n, m ∈ N gilt: Ist t ein Teiler von n und ebenfalls von m, so ist t auch ein Teiler von
(n − 1) · m + n.

Problem/Ansatz: Leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht voran. Hat jemand eine Lösung für die Aufgaben bzw. eine Lösungsidee? Bei Aufgabe 1 bin ich nach der Induktionsannahme komplett raus und bei 2) habe ich leider keinen Schimmer. Da ich nächste Woche die Klausur schreibe, hätte ich diese Übungsaufgabe hinbekommen müssen...Vielen Dank im Voraus, Freunde! :)

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Hallo

1 setz erst mal Klammern um die Aufgaben lesbar zu machen, der Anfang soll doch wohl sein 1/(1*2) und 1/(2*3) und nicht  1/2 *3

Induktionsanfang schaffst du, dann Und, Vors hin schreiben und (n+1)/(n+2) addieren auf beiden Seiten und dann mit der Behauptung vergleichen.

2. ausmultiplizieren, dann zeigen.,

lul

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siehe

www.mathelounge.de/807778/

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Vielen Dank!

Answer 1

a)

IndAnfang

n=1

1/(1*2)=1/2=1/(1+1)

IndSchritt

Beh. gelte für n.

(1/1*2)+(1/2*3)+...+(1/n*(n+1))+(1/[(n+1)*(n+2)]

=n/(n+1)+1/[(n+1)*(n+2)]

=n*(n+2)/[(n+1)*(n+2)]+1/[(n+1)*(n+2)]

=[n*(n+2)+1]/[(n+1)*(n+2)]

=[n^2+2n+1]/[(n+1)*(n+2)]

=[(n+1)^2]/[(n+1)*(n+2)]

=(n+1)/(n+2)

Fertig!

b.) Beweise für alle t, n, m ∈ ℕ gilt: Ist t ein Teiler von n und ebenfalls von m, so ist t auch ein Teiler von (n-1)*m+n

n=r*t

m=s*t

(n-1)*m+n=(r*t-1)*s*t+r*t=[(r*t-1)*s+r]*t

:-)

Answer 2

Muss vollständige Induktion unbedingt sein? Beides geht direkt wesentlich einfacher:

$$ {1\over a}-{1\over b} = {b-a \over ab} $$

Mit \( b = a+1 \) gilt

$$ {1\over a}-{1\over a+1} = {1 \over a(a+1)} $$

Damit:

$$ {1\over 1*2}+{1\over 2*3}+{1\over 3*4}+\dots+{1 \over n(n+1)} = {1\over1}-{1\over2}+{1\over2}-{1\over3}+{1\over3}-{1\over4}+\dots+{1\over n}-{1\over n+1} $$

Bei (b) nutze die Teilbarkeitsregeln.

Comments

Ja, leider muss es vollständige Induktion sein.