Zahlenfolgen epsilon-Abstraktion Konvergenz beweisen

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mit Hilfe der Definition des Grenzwertes einer Zahlenfolge, dass
a) {an}n∈N, an =

(sqrt(2n^2 - 10n)) / 4n + 6, den Grenzwert √2/4 besitzt

Problem/Ansatz:

ich hab viel Versucht leider hab ich gescheitert und brauche hilfe.

Text erkannt:

Abstraktion 1302.2021
Aufgabe 6 Zallenfolger - \varepsilon Autgabe 6
class
a) \( \left\{a_{n}\right\} \) men \( a_{n}=\sqrt{2 n^{2}-10 n} \), den Greicwert \( \frac{\sqrt{2}}{4} \)
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\sqrt{\frac{2 n^{2}-10 n}{4 n+6}} \neq \ln \alpha a_{n}=x \)
\( y \)
Beweis Es git \( \forall n \in \mathbb{N} \)

Answer 1

Du kannst z.B. folgendermaßen abschätzen:$$\quad\lvert a_n-g\rvert\\=\left\lvert\frac{\sqrt{2n^2-10n}}{4n+6}-\frac{\sqrt2}4\right\rvert\\=\left\lvert\frac{2\sqrt{2n^2-10n}-\sqrt2(2n+3)}{8n+12}\right\rvert\\=\left\lvert\frac{2\sqrt{2n^2-10n}+\sqrt2(2n+3)}{2\sqrt{2n^2-10n}+\sqrt2(2n+3)}\cdot\frac{2\sqrt{2n^2-10n}-\sqrt2(2n+3)}{8n+12}\right\rvert\\=\frac{64n+18}{8n+12}\cdot\frac1{2\sqrt{2n^2-10n}+\sqrt2(2n+3)}\\<\frac8{2n}=\frac4n.$$Zu jedem \(\varepsilon>0\) findet sich ein \(n\in\mathbb N\) mit \(\frac4n<\varepsilon\).

Comments

Was haben Sie in der 3 Zeile gemacht? wie haben Sie die Brüche zusammengerechnet?

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Die letzten beiden Zeilen gingen mir zu schnell.

Wenn ich den Binomi auflösen, steht bei mir im Zähler

\(|-40n-18|\)

Wie du danach auf

\(64n+18\)

kommst, verstehe ich nicht. Zudem verstehe ich die Abschätzung nicht.

Und ich hätte noch gesagt, wähle

\(n>4/ε\), dann gilt die Aussage für alle \(N>n\).

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ja ich bin mir auch nicht sicher wie er auf 64n gekommen ist

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\(\big(\sqrt2(2n+3)\big)^2=8n^2{\color{red}+24n}+18.\)

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Fehlt da kein minus? ups doch nicht betrag ist ja weg

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Danke, das hatte ich übersehen.

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So bin ein bisschen weiter gekommen dank dir, Danke, leider komm ich aber immernoch nicht ganz klar. nach dem Ausrechnen der 3ten Zeile steht bei mir (8n^2 +24n +18) + (8n^2 -40n) im Zähler und wie kommst du davon auf 64n ?

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Im Zähler muss heißen |(8n² - 40n) - (8n² + 24n + 18)| = |-64n - 18| = 64n + 18.

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Okay danke und wie kommst du auf die Abschätzung 8/2n

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Für alle n ≥ 5 ist $$(1)\quad\frac{64n+8}{8n+12}<8\\(2)\quad2\sqrt{2n^2-10n}≥0\\(3)\quad\sqrt2>1\\(4)\quad2n+3>2n.$$Damit ist der Nenner größer als 2n.