Wie leite ich diesen Bruch mit Faktoren ab?

Question

Aufgabe:

$$f(x)=\frac{x^2*cos(x)}{sin(x)}$$

Problem/Ansatz:

Ich versuche gerade diesen Bruch zu lösen.

Ich sehe das ich die Quotientenregel und Produktregel anwenden kann.

Leite ich den Zähler erst mit der Produktregel ab und anschließend Quotientenregel durchführen?

Die Lösung der Rechnung lautet:

$$f'(x)=\frac{2x*cos(x)*sin(x)-x^2}{sin^2(x)}$$

ich komme nach meiner Rechnung nicht auf diese Lösung.

kann mir wer helfen?

Comments

Für die Quotientenregel brauchst du ja unter anderem u' , wenn du f(x) = u(x) / v(x) hast:
$$f'(x) = \frac{u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x)}{(v(x))^2} $$

Dieses u'(x) bekommst du mit der Produktregel angewandt auf x^2 * cos(x).

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x^2* cos(x)/sin(x) = x^2* cot(x)

cot '(x) = -1/sin^2(x)

Answer 1

Leite ich den Zähler erst mit der Produktregel ab und anschließend Quotientenregel durchführen?

besser "dabei" statt anschließend

f ' (x) = (  Nenner * Abl. vom Zähler - Zähler mal Abl. vom Nenner ) / Nenner ^2

$$\frac{sin(x) \cdot (2x \cdot cos(x) + x^2 * (-sin(x))  )- x^2 \cdot cos(x) \cdot cos(x)}{sin(x)^2 } $$

Dann vereinfachen

$$\frac{sin(x) \cdot 2x \cdot cos(x) - sin(x) \cdot x^2 * sin(x)  - x^2 \cdot cos(x) \cdot cos(x)}{sin(x)^2 } $$

im Zähler (2. Teil)   -*x^2 ausklammern gibt

$$\frac{sin(x) \cdot 2x \cdot cos(x) - x^2 (sin(x) * sin(x)  +cos(x) \cdot cos(x))}{sin(x)^2 } $$

Dann sin^2 (x) + cos^2(x) = 1 anwenden.

Comments

vielen dank für deine Antwort

An die stelle deiner ersten Rechnung bin ich auch gekommen.

Das "vereinfachen" von (-sin(x)) kann ich mir nicht erklären..

Es fehlt immer das zweite sin(x) in meinem Ergebnis.

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habe was ergänzt.

Answer 2

Nenne den Zähler u(x)=x²·cos(x) und den Nenner v(x)=sin(x). Setze u, u', v und v' in die Quotientenregel ein.

Answer 3

Ich würde die Funktion erstmal umschreiben

f(x) = x^2·COS(x)/SIN(x) = x^2·COT(x)

Nun kennst du eventuell die Ableitung

[COT(x)]' = -1/SIN(x)^2

oder kannst sie dir leicht herleiten. Damit gilt jetzt nach Produktregel

f'(x) = 2·x·COT(x) - x^2/SIN(x)^2

Das kann man nun noch vereinfachen

f'(x) = 2·x·COS(x)/SIN(x) - x^2/SIN(x)^2
f'(x) = 2·x·SIN(x)·COS(x)/SIN(x)^2 - x^2/SIN(x)^2
f'(x) = (2·x·SIN(x)·COS(x) - x^2)/SIN(x)^2

Das wäre jetzt genau die Musterlösung.