Beweis zur rot(rot(A)) mit Summenkonvention

Question

Hi Community,

Aufgabe:

zu zeigen: $$\partial_{\vec{r} }\times (\partial_{\vec{r} }\times \vec{A}) = \partial_{\vec{r} }( \partial_{\vec{r} }\vec{A})-\Delta \vec{A}$$

Problem/Ansatz:

Mit ausschreiben der Vektoren ist dies ja recht simpel zu zeigen... $$\partial_{\vec{r} }\times (\partial_{\vec{r} }\times \vec{A}) = \begin{pmatrix} \partial_{x_1} \\ \partial_{x_2} \\ \partial_{x_3} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \partial_{x_2}A_3 - \partial_{x_3}A_2 \\ \partial_{x_3}A_1 - \partial_{x_1}A_3 \\ \partial_{x_1}A_2 - \partial_{x_2}A_1 \end{pmatrix} = ... = \partial_{\vec{r} }(\partial_{\vec{r} }\vec{A})-\Delta \vec{A}$$ Mir geht es aber darum die Indexschreibweise zu nutzen und damit zu üben. Das fällt mir bei dieser Aufgabe echt schwer. Bin jetzt mithilfe des internets soweit gekommen: $$\partial_{\vec{r} }\times (\partial_{\vec{r} }\times \vec{A}) = \partial_{\vec{r} }\times (\epsilon_{def}(\partial_{x_e}A_f)\vec{e}_d) = \epsilon_{abc}(\epsilon_{cef}(\partial_{x_e}A_f)\vec{e}_c)$$ falls dies richtig sein sollte, verstehe ich den letzten Schritt aber auch noch nicht so ganz wieso dort das d zu einem c wird.

Vielen Dank im voraus!:)