Beweis zum Limes Superior

Question

Aufgabe:

Seien (an) und (bn) Folgen in R. Seien an, bn >= 0 und Limes bn > 0.

Beweisen Sie, dass gilt:

Limes sup (an*bn) = Limes sup (an) * Limes (bn)

Ich stehe bei der Aufgabe wirklich sehr auf dem Schlauch.

Answer 1

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1. \(\left(a_n\cdot b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\) hat eine konvergente Teilfolge, die gegen

           \({\lim\sup}_{n\to\infty}\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\cdot\lim_{n\to\infty} \left(b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\)
   

   konvergiert.

2. Hätte \(\left(a_n\cdot b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\) hat eine konvergente Teilfolge, die gegen

           \(s_{ab} > {\lim\sup}_{n\to\infty}\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\cdot \lim_{n\to\infty} \left(b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\)

   konvergiert, dann hätte \(\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\) eine konvergente Teilfolge die gegen

           \(s_{a} > {\lim\sup}_{n\to\infty}\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\)

   konvergiert