Aloha :)
a) Wir sollen eine Exponential-Funktion mit der Basis \(e\) finden,$$f(x)=a\cdot e^{bx}$$die möglichst gut zu den angegebenen Punkten passt.$$(0|0,2)\;;\;(1|0,4)\;;\;(2|0,6)\;;\;(3|1,3)\;;\;(4|2,2)\;;\;(5|4,9)\;;\;(6|9,5)\;;\;(7|26,1)$$
Wir bestimmen nicht \(f(x)\), sondern, den natürlichen Logarithmus von \(f(x)\):$$\ln f(x)=\ln\left(a\cdot e^{bx}\right)=\ln a+\ln\left(e^{bx}\right)=\ln a+bx$$
Setzen wir die 8 Werte ein, erhalten wir 8 Gleichungen für 2 Unbekannte \(a\) und \(b\):
$$\begin{array}{lcl}\ln(0,2)&=&\ln a+b\cdot0\\\ln(0,4)&=&\ln a+b\cdot1\\\ln(0,6)&=&\ln a+b\cdot2\\\ln(1,3)&=&\ln a+b\cdot3\\\ln(2,2)&=&\ln a+b\cdot4\\\ln(4,9)&=&\ln a+b\cdot5\\\ln(9,5)&=&\ln a+b\cdot6\\\ln(26,1)&=&\ln a+b\cdot7\end{array}\quad\Longleftrightarrow\quad\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\1 & 1\\1 & 2\\1 & 3\\1 & 4\\1 & 5\\1 & 6\\1 & 7\end{array}\right)\cdot\binom{\ln a}{b}=\begin{pmatrix}\ln(0,2)\\\ln(0,4)\\\ln(0,6)\\\ln(1,3)\\\ln(2,2)\\\ln(4,9)\\\ln(9,5)\\\ln(26,1)\end{pmatrix}$$Wir werden keine Lösung für \(\binom{\ln a}{b}\) finden, die alle 8 Gleichungen perfekt erfüllt. Gemäß der Gauß'schen Methode der kleinsten Fehlerquadrate kann man jedoch die am besten passende Lösung finden, indem man beide Seiten der Matrix-Gleichung von links mit der transponierten Koeffizientenmatrix multipliziert.
Die linke Matrix wird dann zu:$$\left(\begin{array}{r}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\1 & 1\\1 & 2\\1 & 3\\1 & 4\\1 & 5\\1 & 6\\1 & 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}8 & 28\\28 & 140\end{array}\right)$$
Die rechte Matrix wird zu, wobei die Logarithmen ausgerechnet wurden:$$\left(\begin{array}{r}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\end{array}\right)\begin{pmatrix}\ln(0,2)\\\ln(0,4)\\\ln(0,6)\\\ln(1,3)\\\ln(2,2)\\\ln(4,9)\\\ln(9,5)\\\ln(26,1)\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{rr}5,116729675\\46,29045427\end{array}\right)$$
Das führt uns zu der sogenannten Normalengleichung:$$\left(\begin{array}{rr}8 & 28\\28 & 140\end{array}\right)\cdot\binom{\ln a}{b}=\left(\begin{array}{rr}5,116729675\\46,29045427\end{array}\right)$$die sich als einfaches Gleichungssystem für 2 Unbekannte lösen lässt:
$$\binom{\ln a}{b}=\left(\begin{array}{rr}8 & 28\\28 & 140\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{rr}5,116729675\\46,29045427\end{array}\right)=\binom{-1,725567158}{0,675759534}$$Mit \(a=e^{\ln a}=e^{-1,725567158}=0,178072028\) haben wir nun unsere Funktion gefunden:$$\boxed{f(x)=0,178072\cdot e^{0,675760\cdot x}}$$
~plot~ 0,178072*e^(0,675760*x) ; {0|0,2} ; {1|0,4} ; {2|0,6} ; {3|1,3} ; {4|2,2} ; {5|4,9} ; {6|9,5} ; {7|26,1} ; [[-0,5|8|0|30]] ~plot~
b) Für \(2010\), also \(x=20\) erwarten wir nach dieser Prognose$$f(20)=131\,878\text{ Knoten-Rechner}$$Aktuelle Daten habe ich nicht mehr gesucht, aber da kannst du bestimmt was finden.
