Es gibt ja auch noch die 1/n∑(xi-x)2 Formel.
Das ist die empirische Varianz aus der Statistik, d.h. wenn du Merkmalsausprägungen über mehrere Indiviuen gesammelt hast.
In deiner Aufgabe geht es aber um die Varianz einer Zufallsgröße, d.h. aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die zwei hängen wie folgt zusammen:
In deiner Formel ist
x das arithmetische Mittel
xi die Merkmalsausprägung des i-ten Individums
n die Anzahl der Individuen
Das 1/n kann man in die Summe ziehen. Dann bekommt man
(1) ∑1/n·(xi-x)2.
Jetzt fassen wir die Individuen zusammen, die die gleiche Merkmalsausprägung haben. Sei dazu
nj die Anzahl der Individuen, die die Merkmalsausprägung x'j haben.
Dann kann man (1) umformen zu
∑1/n·nj·(x'j-x)2.
und mittels Bruchrechenregeln zu
(2) ∑nj/n·(x'j-x)2.
Dabei ist nj/n die relative Häufigkeit der Merkmalsausprägung x'j.
Jetzt nimmt man anstatt der relativen Häufigkeit die Wahrscheinlichkeit und anstatt des arithmetischen Mittels den Erwartungswert und kommt so zu der Formel für die Varianz der Zufallsvariablen X:
∑P(X = x'j)·(x'j - E(X))2.
