Bestimmen Grenzwert der Reihe

Question

Aufgabe:

∑5.(1/2ⁿ⁺¹)

von n=2 bis ∞.

Bestimmen Sie den Grenzwert der Reihe
Problem/Ansatz:

Wie kann man solche Aufgabe lösen?

Answer 1

Aloha :)

$$\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{5}{2^{n+1}}=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{5}{2^{n+3}}=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{5}{2^n\cdot2^3}=\frac{5}{8}\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}=\frac{5}{8}\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^n=\frac{5}{8}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{5}{4}$$Die letzte Summe ist eine geometrische Reihe \(\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}\) für \(|q|<1\) mit \(q=\frac{1}{2}\).