Ströme in Netzwerken LGS Anwendungen

Question

Text erkannt:

\( \triangle \)

Aufgabe:

Drei Einbahnstraßen umranden einen drei- eckigen Park. Die Kapazitäten der Zu- und Abflussstraßen sind in 1000 Autos pro Stunde angegeben. Nun sollen Kapazitäten x, y und z für die drei neu zu gestaltenden Ringstraßen des Parks festgelegt werden.

a) Stellen Sie nach der Kreuzungsregel ein lineares Gleichungssystem für die Kapazitäten x, y und z der drei Ringstraßen auf.

b) Bestimmen Sie die allgemeine mathematische Lösung des lineares Gleichungssystems.

c) Welche Einschränkungen ergeben sich für die Lösung aus b), wenn man berücksichtigt, dass keine der Variablen x, y und z negativ werden darf?

d) Wie lauten die Minimalkapazitäten für die drei Ringstraßen, die den Park begrenzen?

Ansatz: Kreuzung A: x+2=y+3 Kreuzung B: y+4=z+5 Kreuzung C: z+3=x+1

Normalform: 1. x-y=1 2. y-z=1 3. -x+z=-2

Bei der Aufgabe b) und den anderen Aufgaben komme ich nicht weiter, es wäre also sehr nett, wenn mir jemand weiter helfen könnte :)

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Vom Duplikat:

Titel: Verkehrsströme berechnen mit LGS

Stichworte: lineare-gleichungssysteme

Aufgabe:

Drei Einbahnstraßen (x,y,z) umrunden einen dreieckigen Park. An den Kreuzungen A, B und C sind die Kapazitäten der Zu- und Abflussstraßen  in 1000 Autos pro Stunde angegeben. Nun sollen die Kapazitäten x, y und z  für die drei neu zu gestaltenden Ringstraßen des Parks festgelegt werden.

a) Stelle nach der Kreuzungsregel ein lineares Gleichungssystem auf.

b) Bestimme die allgemeine mathematische Lösung des LGS.

c) Welche Einschränkungen ergeben sich für die Lösung aus b), wenn man berücksichtigt, dass keine der Variablen negativ werden darf?

d) Keine einzige der drei Ringstraßen soll eine geringere Kapazität als 500 Autos pro Stunde haben. Wie lautet dann eine Lösung mit minimalen Kapazitäten?

Wer kann mir helfen einen Ansatz zu finden? Das Lösen eines LGS ist nicht das Problem, aber ich finde keinen Ansatz.

Answer 1

Aloha :)

a) Deinen Ansatz für das Gleichungssystem kann ich bestätigen:$$\begin{array}{c}x+2&=&y+3\\y+4&=&z+5\\z+3&=&x+1\end{array}\;\Longleftrightarrow\;\begin{array}{rcr}x-y&=&1\\y-z&=&1\\-x+z&=&-2\end{array}\;\Longleftrightarrow\;\begin{array}{rrr|r}x & y & z & =\\\hline1 & -1 & 0 & 1\\0 & 1 & -1 & 1\\-1 & 0 & 1 & -2\end{array}$$

b) Wir lösen dieses LGS mit dem Gauß-Verfahren:

$$\begin{array}{rrr|r|l}x & y & z & = &\text{Aktion}\\\hline1 & -1 & 0 & 1 & \\0 & 1 & -1 & 1 & \\-1 & 0 & 1 & -2 &+\text{Zeile 1}\\\hline1 & -1 & 0 & 1 & \\0 & 1 & -1 & 1 & \\0 & -1 & 1 & -1 &+\text{Zeile 2}\\\hline1 & -1 & 0 & 1 & \Rightarrow x-y=1\\0 & 1 & -1 & 1 &\Rightarrow y-z=1 \\0 & 0 & 0 & 0 &\checkmark\\\hline\end{array}$$Die letzte Gleichung ist immer erfüllt. Es bleiben 2 Gleichungen für 3 Unbekannte, sodass wir stets eine Unbekannte frei wählen können. Die beiden anderen Unbekannten sind dann durch die Gleichungen bestimmt. Wir entscheiden uns für \(y\) als frei wählbare Variable und finden:$$x=y+1\quad;\quad z=y-1$$Damit können wir alle Lösungen angeben:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y+1\\y\\y-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}+y\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$

c) Keine der Variablen darf negativ sein, weil es sich ja um Einbahnstraßen handelt. Wegen der \(z\)-Komponente \(z=-1+y\) muss also \(y\ge1\) sein. Über die Straße von A nach B müssen also mindestens 1000 Autos pro Stunde fahren.

d) Wegen der Einschränkung \(y\ge1\) folgt aus der Lösung von Teil b) insbesondere \(x\ge2\) und \(z\ge0\). Bemerkenswert ist hier, dass man die Verbindung von B nach C theoretisch gar nicht benötigt, weil eine Lösung mit \(z=0\) existiert. Praktisch ist das jedoch nicht machbar, da es sich um Einbahnstraßen handelt und ohne \(z\) kein Weg von B nach C existieren würde.

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Vielen Dank :)

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bei Aufgabe 2 b) ist z=y+1 und nicht z=y-1

Answer 2

Betrachte jede Ecke einzeln:

Bei A gilt  :    x+2 = y+3

Denn es müssen ja genauso viele in die Kreuzung

reinfahren wie wieder rausfahren.

Bei B:      z+3 = x+1

C :     y+4 = z+5

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Danke für die Lösung. Du hast allerdings B und C vertauscht.

Ich habe die gleiche Lösung mit dem Ansatz, dass an jedem Kreuzungspunkt die Summe der Zuflüsse und Abgänge gleich Null sein muss.

Answer 3

Vom Duplikat ohne Abbildung d und e sind meine Frage

Titel: Verkehrsströme - Drei Einbahnstraßen umranden einen dreieickigen Park

Stichworte: gauß,lineare-gleichungssysteme

Aufgabe:

Verkehrsströme- Dreiecksring

Drei Einbahnstraße umranden einen dreieckigen Park. Die Kapazitäten der Zu- und Abflussstraßen sind 1000 Autos pro Stunde angegeben. Nun sollen Kapazitäten x,y und z für die drei neu zu gestaltenden Ringstraßen des Parks festgelegt werden

Problem/Ansatz:

Die erste Aufgabe besteht darin, das Gleichungssystem aufzustellen und zu lösen. Das habe ich hinbekommen.

Kreuzung A: x+2=3+y

Kreuzung B: y+4=z+5

Kreuzung C: z+3=x+1

Gelöst: z=c

y= 1+c

x= 1+y → 2+c

Jetzt muss ich beim Aufgabenteil c.) herausfinden, welche Einschränkungen sich ergeben, wenn man berücksichtigt dass keine Variable x,y oder z negativ werden kann. Ich weiß überhaupt nicht, was da von mir gefordert wird,kann mir da jemand helfen??

Auch die d.) Und e.) überfordern mich. Da soll ich die Minimalkapazität für die drei Ringstraßen berechnen.

Aufgabenteil E sagt, dass keine der einzigen Ringstraßen eine geringere Kapazität als 500 Autos pro Stunde haben soll. Wie lautet dann eine Lösung mit minimalen Kapazitäten.

Ich würde mich unheimlich freuen, wenn mir jemand an diesem sonnigen Sonntag bei meiner Verzweiflung helfen könnte. Ich danke im Voraus.

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Bist du denn inzwischen selbst weitergekommen?

Alte Antworten soweit verstanden und bereits Anweisungen dort befolgt?

In der Rubrik "ähnliche Fragen" gibt es auch andere Abbildungen d.h. Aufgaben die zumindest am Anfang anders sind.

Gruss