Bild spaltenvektor bestimmen

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Über eine lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) sei Folgendes bekannt:

\( \left(\begin{array}{l}2 \\ 2\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}4 \\ -10\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}2 \\ -7\end{array}\right) \)
Ermitteln Sie das Bild \( f(v) \) des vektors \( v=\left(\begin{array}{r}-9 \\ -8\end{array}\right) \)

ich weiß leider nicht wie ich hier vorgehen soll, ich meine zu wissen das der pfeil bedeutet das (2,2) auf (4,-10) abbildet aber was genau das bedeutet ist mir nicht klar.

Comments

Der Vekor \(v=\begin{pmatrix}-9\\ -8\end{pmatrix}\) kann als Linearkombination von \(\begin{pmatrix}2\\ 2\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix}\) dargestellt werden. Es ist$$\begin{pmatrix}-9\\ -8\end{pmatrix} = 1 \cdot \begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix} + (-5) \cdot \begin{pmatrix}2\\ 2\end{pmatrix}$$Also ist das Bild $$f(v) = 1 \cdot \begin{pmatrix}2\\ -7\end{pmatrix} + (-5) \cdot \begin{pmatrix}4\\ -10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-18\\ 43\end{pmatrix}$$