Analytische Geometrie - Gleichseitiges Dreieck

Question

Ich bräuchte Hilfe bei einer Aufgabe.

Gegeben sind die Vektoren, die als Punkte im Raum angesehen werden sollen.

$$A=\begin{pmatrix} a\\1\\1 \end{pmatrix}, \, B=\begin{pmatrix} 1\\a\\-1 \end{pmatrix}, \, C=\begin{pmatrix} 1\\1\\a \end{pmatrix}$$

Zeige, dass es kein \(a \in \R\) gibt, sodass die Vektoren die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks sind.

Für ein gleichseitiges Dreieck müsste, wenn ich mich nicht irre, \(|\vec{AB}|=|\vec{BC}|=|\vec {CA}|\) gelten oder?

Wie gehe ich da dann weiter vor?

Answer 1

Ohne es nachgerechnet zu haben:

Du könntest deinen Ansatz doch einfach überprüfen, indem du die Gleichungen aufstellst und versuchst aufzulösen und schaust, ob es einen Widerspruch gibt.

Ich glaube aber, dass das hier längenmäßig passen wird(Also dass alle Längen gleich sind)

Zusätzlich muss zu der Seitenlänge auch gelten, dass die Winkel gleich groß sind.

Das heißt, schmeiß mal die Winkel der potentiellen Seiten in die Formel zur Berechnung des Winkels und schau mal, ob diese gleich sein können.
(Da steckt übrigens die Länge ja auch drin, aber da die nach Vermutung gleich ist, musst du dir dann wahrscheinlich nur das anschauen, was in der Formel über dem Bruchstrich steht)

Answer 2

Wie gehe ich da dann weiter vor?

Na, du stellst diese drei Vektoren auf, und du bildest ihre Beträge. Was sonst?!

Answer 3

Hallo Sora,

Es müssen ja mindestens zwei Seiten in dem Dreieck gleich sein. Diese Bedingung ist zwar nicht hinreichend, aber notwendig!

Betrachte dazu die Seiten \(AB\) und \(AC\)$$\vec{AB}= \begin{pmatrix} 1-a\\a-1\\ -2 \end{pmatrix} \\ \vec{AC} = \begin{pmatrix} 1-a\\0 \\ a-1 \end{pmatrix} $$ich substituiere noch \(x = a-1\),dann sind ihre Längen$$|AB| = \sqrt{2x^2+4}, \quad |AC| = \sqrt{2x^2}$$das kann aber für kein \(x \in \mathbb R\) gleich sein. Also enststeht auch nie ein gleichseitiges Dreieck.

Zur Demonstration:

klick auf das Bild, dann öffnet sich Geoknecht3D. Dort siehst Du das Dreieck für \(a=3\). Du kannst den Wert von \(a\) oben im Script-Fenster ändern. Die Strecke \(|AB'|\) ist stets genauso lang wie \(|AC|\). Aber \(|AB|\) ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks \(\triangle ABB'\). Die zweite Kathete ist konstant \(|BB'| = 2\). Somit gilt immer $$|AB| \gt |AC|$$