Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Deine partiellen Ableitungen kann ich bestätigen, würde sie aber gerne noch etwas umformen:
$$\frac{\partial f}{\partial x}=2xy+y^2=(x^2+2xy+y^2)-x^2=(x+y)^2-x^2$$$$\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+2xy+y^2-4=(x+y)^2-4$$
Die kritischen Punkte finden wir dort, wo beide partiellen Ableitungen zugleich verschwinden. Aus der partiellen Ableitung nach \(y\) folgt dann:$$0\stackrel!=\frac{\partial f}{\partial y}=(x+y)^2-4\quad\implies\quad(x+y)^2=4$$Das können wir so beim Nullsetzen der partiellen Ableitung nach \(x\) sofort verwenden:$$0\stackrel!=\frac{\partial f}{\partial x}=(x+y)^2-x^2=4-x^2\quad\implies\quad x^2=4\quad\implies\quad x=\pm2$$
Die zugehörigen \(y\)-Werte sind:$$x=+2\implies(2+y)^2=4\implies2+y=\pm2\implies y=\pm2-2=\left\{\begin{array}{r}0\\-4\end{array}\right.$$$$x=-2\implies(-2+y)^2=4\implies-2+y=\pm2\implies y=\pm2+2=\left\{\begin{array}{r}4\\0\end{array}\right.$$
Wir haben also 4 kritische Punkte gefunden:$$K_1\left(2|-4\right)\quad;\quad K_2\left(2|0\right)\quad;\quad K_3\left(-2|0\right)\quad;\quad K_4\left(-2|4\right)$$
In deiner Musterlösung wurden die beiden partiellen Ableitungen als Gleichungssystem geschrieben:$$\begin{array}{c} && 2xy &+& y^2 &=& 0\\ x^2&+&2xy&+&y^2&=&4\end{array}$$Wenn man nun die erste Gleichung von der zweiten Gleichung subtrahiert, bekommt man \(x^2=4\) bzw. \(x=\pm2\).
