Wie erkenne ich konvexe Mengen?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( \square\left\{x \in \mathbb{R}^{2} \mid x_{1}=2\right. \) oder \( \left.x_{2}=2\right\} \) ist eine konvexe Menge. \( \bigotimes\left\{x \in \mathbb{R}^{2} \mid \max \left\{\left|x_{1}\right|,\left|x_{2}\right|\right\} \leq 2\right\} \) ist eine konvexe Menge.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand sagen warum das erste keine und das zweite eine konvexe Menge ist ?

würde mir sehr helfen :)

Answer 1

konvex ist eine Menge, wenn die Verbindungsstrecke zweier Punkte der

Menge immer ganz in der Menge liegt.

Bei der ersten ( das sind ja zwei senkrechte Geraden.)

sind z.B. (3;2) und (2;0) in der Meneg, aber

der Mittelpunkt der Strecke dazwischen (2,5 ; 1) nicht.

Die zweite Menge ist ein Quadrat im Koordinatensystem,

wenn du zwei Punkte vom Quadrat verbindest, liegt die

Verbindungslinie im Quadrat.

Comments

vielen dank für die Antwort.

Wie erkennst du das die zweite Funktion ein Quadrat ist ? gibt es eventuell irgendwie eine Möglichkeit den Graph wiederzugeben, sprich ein Programm?

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Schau mal dort:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+max%28abs%28x%29%2Cabs%28y%29%29+%3D5

Answer 2

Die erste Menge ist nicht konvex, weil sie zwei Punkte enthält (zum Beispiel die Punkte (-2,2) und (2, -2)) deren Verbindungsstrecke einen Punkt enthält, der nicht in der Menge liegt (nämlich den Punkt (0,0))