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Es sollen Eigenwert und Eigenvektor von der Matrix

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \)

bestimmt werden.

Die Eigenwerte habe ich schon bestimmt :

x1=-1, x2=3

Der Eigenvektor von X1=-1 lautet nach meinen Rechnungen nach : (1,-2)

Laut Musterlösung sollen es (-1,2) sein.

Weiß einer wieso mein Eigenvektor andere Vorzeichen besitzt ?

[Es handelt sich bei meiner Aufgabe ursprünglich um ein DGL System-->Spielt dort, wenn beide Eigenvektoren richtig sind, das Vorzeichen eine Rolle ?]

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2 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

Deine Eingewerte sind korrekt. Der Eigenvektor ist nicht eindeutig. Wenn du dir die Eigenwert-Gleichung anschaust, wird klar warum:$$A\cdot\vec x=\lambda\cdot \vec x\quad\Longleftrightarrow\quad A\cdot(a\vec x)=\lambda\cdot(a\vec x)$$Der Eigenvektor \(\vec x\) ist nur bis auf einen konstanten Faktor \(a\ne0\) bestimmt. Wenn du deinen Eigenvektor mit \((-1)\) multiplizierst, erhältst du denjenigen aus der Musterlösung. Passt also alles!

Auch zur Lösung der DGL spielt dieser Faktor keine Rolle, weil du ja eh die Linearkombination aller Lösungen bildest.

Avatar von 152 k 🚀
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Weil beide eine Basis des Eigenraumes abgeben. Du darfst auch einen Eigenvektor wie (-2,4) hernehmen - weil Ax=λx gelten soll also auch λ vielfache des EV...

Avatar von 21 k

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