Lineare Abbildungen, woher weiß ich, ob sie linear oder nicht linear sind?

Question

Aufgabe:

(a) Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Linearität
(i) \( T_{1}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad T_{1}(x)=\left(\begin{array}{l}x \\ 1\end{array}\right) \)
(ii) \( T_{2}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad T_{2}\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \)
(iii) \( T_{3}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad T_{3}\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x_{1}+x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right) \)
(iv) \( T_{4}: \mathbb{C}^{n} \rightarrow \mathbb{C}, \quad T_{4}(z)=\|z\|_{2} \)
(b) Seien \( U, V \) und \( W \) endlichdimensionale Vektorräume und \( S: U \rightarrow V, T: V \rightarrow W \) lineare Abbildungen. Dann ist die Abbildung \( T \circ S: U \rightarrow W \) linear.

Problem/Ansatz:

Hallo,

ich bin am Verzweifeln und habe überhaupt keinen Ansatz, wie ich darauf kommen soll, ob die Abbildungen linear oder nicht linear ist.

Ich würde mich riesig über Hilfe freuen.

Liebe Grüße Tabea

Comments

und habe überhaupt keinen Ansatz, wie ich darauf kommen soll, ob die Abbildungen linear oder nicht linear ist.

Gibt es so etwas wie eine Vorlesungsmitschrift oder ein Script, in dem der Begriff "Lineare Abbildung" definiert ist?

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Definition 3. Seien V und W Vektorräume.
(i) Eine Abbildung T : V → W heißt linear, wenn für alle x, y ∈ V und λ ∈ K gilt
T(x+y)=T(x)+T(y) und T(λx)=λT(x).
(ii) Eine Abbildung T : V → W heißt Isomorphismus, wenn T eine bijektive lineare Abbildung ist

Definition 4. Sei \( B=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} \subset V \) eine Basis von \( V . \) Dann heißt die Abbildung
\( K_{B}: V \rightarrow \mathbb{K}^{n}, \quad \underbrace{x=\sum \limits_{j=1}^{n} \alpha_{j} v_{j}}_{\text {Darstellung ist eindeutig }} \mapsto K_{B}(x)=\left(\begin{array}{c} \alpha_{1} \\ \vdots \\ \alpha_{n} \end{array}\right) \)
Koordinatenisomorphismus bezüglich der Basis B. Der Vektor \( K_{B}(x) \) heißt Koordinatenvektor von \( x \in V \).

Answer 1

Aloha :)

Eine lineare Abbildung \(f\) muss additiv und homogen sein, das heißt:$$f(x+y)=f(x)+f(y)\quad;\quad f(a\cdot x)=a\cdot f( x)\quad;\quad a\in\mathbb K$$

zu i) Eine lineare Abbildung \(f\) muss die \(0\) auf die \(0\) abbilden, denn:$$f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2\cdot f(0)\implies f(0)=0$$Das ist immer das erste Kriterium, das man prüft. Hier ist$$T_1(0)=\binom{0}{1}\ne\binom{0}{0}$$\(T_1\) ist daher nicht linear.

zu ii) Wir prüfen die Homogenität:$$T_2(a\cdot\vec x)=T_2\binom{ax_1}{ax_2}=(ax_1)^2+(ax_2)^2=a^2(x_1^2+x_2^2)=a^2\cdot T_2\binom{x_1}{x_2}\ne a\cdot T_2(\vec x)$$Die Homogenität ist verletzt, also ist \(T_2\) nicht linear.

zu iii) Hier können wir eine Abbildungsmatrix \(\mathbf A\) angeben, sodass die Abbildung wegen$$\mathbf A\cdot(\vec x+\vec y)=\mathbf A\cdot\vec x+\mathbf A\cdot\vec y\quad;\quad \mathbf A\cdot(a\cdot\vec x)=a\cdot (\mathbf A\cdot\vec x)$$automatisch linear ist:$$T_3\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\binom{x_1+x_2}{x_3}=\binom{1}{0}x_1+\binom{1}{0}x_2+\binom{0}{1}x_3=\underbrace{\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}}_{\eqqcolon \mathbf A}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$$\(T_3\) ist also linear.

zu iv) Wir prüfen die Homogenität:$$T_4(c\cdot\vec x)=\|c\cdot\vec x\|=\sqrt{(c\cdot\vec x)(c\cdot\vec x)^\ast}=\sqrt{cc^\ast\vec x\vec x^\ast}=\sqrt{|c|^2|\vec x|^2}$$$$\phantom{T_4(c\cdot\vec x)}=|c|\cdot\sqrt{|\vec x|^2}=|c|\cdot\|\vec x\|\ne c\cdot\|\vec x\|$$\(T_4\) ist also nicht linear, weil die Homogenität verletzt ist.

zu b) Da \(S:U\to V\) und \(T:V\to W\) lineare Abbildungen sind, gibt es entsprechende Abbildungsmatrizen \(\mathbf S\) und \(\mathbf T\), sodass gilt:$$(\mathbf T\circ \mathbf S)(\vec x+\vec y)=(\mathbf T\!\cdot\!\mathbf S)(\vec x+\vec y)=(\mathbf T\!\cdot\!\mathbf S)\!\cdot\!\vec x+(\mathbf T\!\cdot\!\mathbf S)\!\cdot\!\vec y=(\mathbf T\circ\mathbf S)(\vec x)+(\mathbf T\circ\mathbf S)(\vec y)$$$$(\mathbf T\circ\mathbf S)(a\vec x)=(\mathbf T\cdot\mathbf S)\cdot(a\cdot\vec x)=a\cdot(\mathbf T\cdot\mathbf S)\cdot\vec x=a\cdot(\mathbf T\circ\mathbf S)(\vec x)$$

Comments

Vielen Dank für die super Antwort, aber woher weiß ich bei iii, wann man eine und welche Abbildungsmatrix angeben kann?

Liebe Grüße

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Und woher weiß ich bei iv, dass ich für z c*x einsetzen kann, bzw. was bedeuten c und x?

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iii) Wenn du eine Abbildungsmatrix finden kannst, ist die Abbildung automatisch linear. Umgekehrt hat jede lineare Abbildung eine Abbildungsmatrix. Bei iii) habe ich die Abbildungsmatrix \(A\) angegeben.

iv) \(c\in\mathbb C\) ist eine Konstante und \(\vec x\in\mathbb C^n\) ist ein Vektor. Da \(c\ne|c|\), ist die Homogenität verletzt.

Answer 2

Hallo Tabea,

... woher weiß ich, ob sie linear oder nicht linear sind?

indem Du prüfst, ob sie die Kriterien einer linearen Abbildung erfüllen. Schlag nach bei Wikipedia:

eine Abbildung \(f\) ist linear, wenn sie homogen und additiv ist. Es muß also gelten$$f(ax) = af(x), \quad f(x)+f(y) = f(x+y)$$

Das \(a\) bei 'homogen' darf auch \(=0\) sein. Daher ist (i) nicht linear$$T_1(0 \cdot x) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix} \ne 0 \cdot T_1(x) = 0 \cdot \begin{pmatrix} x \\ 1\end{pmatrix}$$(ii) ist auch nicht linear$$T_2\begin{pmatrix} x \\ x\end{pmatrix} + T_2\begin{pmatrix} -x \\ -x\end{pmatrix} = 4x^2 \ne T_2\begin{pmatrix} x-x \\ x-x\end{pmatrix} = 0 \quad \text{für}\, x \ne 0$$(iii) sollte linear sein. Prüfe das selber mal nach. Wenn Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Comments

Tut mir leid, aber ich blicke da überhaupt nicht durch.

Woher weiß ich denn, wo ich bei i die null einsetzen muss und wie kommt man bei ii auf den Term, den Sie da hingeschrieben haben?

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Und wären Sie bitte so nett und würden mir auch nochmal die iii erklären?

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Woher weiß ich denn, wo ich bei i die null einsetzen muss

Na ja. Du hast doch nur die beiden Bedingungen. Ich fange eben mit der ersten an, die da lautet:$$f(ax) = af(x)$$Da MUSST Du auch keine 0 einsetzen. Du kannst auch einfach abschreiben, was da steht. Das \(f\) ist hier das \(T_1\). Wenn es also linear wäre, dann muss gelten$$T_1(ax)=\begin{pmatrix} ax\\ 1\end{pmatrix} \stackrel{?}= aT_1(x) = a\begin{pmatrix} x\\ 1\end{pmatrix}$$und das ist eben i.A. für \(a\) nicht erfüllt, da $$\begin{pmatrix} ax\\ 1\end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} ax\\ a\end{pmatrix} \quad \text{für}\,a \ne 1$$es hätte gereicht, wenn es für irgendein \(a\) nicht erfüllt wäre. Daher wählte ich \(a=0\).

Und wären Sie bitte so nett und würden mir auch nochmal die iii erklären?

Tschakabumba hat Dir bereits gezeigt, dass man daraus eine Matrix-Multioplikation machen kann. Und das ist immer eine lineare Abbildung.

Frage nach, wenn was nicht klar ist.