Aufgaben zu ähnlichen Matrizen

Question

Aufgabe:

(b) Seien \( A, B \in \mathbb{K}^{n \times n} \) ähnliche Matrizen. Zeigen Sie:
(i) \( p_{A}=p_{B} \). Dabei bezeichnet \( p_{A} \in \mathbb{P}_{n} \) ( \( \left.\mathbb{K}\right) \) das charakteristische Polynom von der Matrix \( A \) und \( p_{B} \in \mathbb{P}_{n}(\mathbb{K}) \) das charakteristische Polynom von der Matrix \( B \).
(ii) \( \operatorname{spur}(A)=\operatorname{spur}(B) \).

Problem/Ansatz:

kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen, ich finde leider keinen Ansatz und was darüber hinaus geht.

Vielen Dank für jegliche Hilfe.

Tabea

Answer 1

Es gelte \(A=SBS^{-1}\). Dann ist$$\quad p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)\\=\det(\lambda I-SBS^{-1})=\det\left(S(\lambda I-B)S^{-1}\right)=\det(S)\cdot\det(\lambda I-B)\cdot\det(S^{-1})\\=\det(\lambda I-B)=p_B(\lambda).$$Also sind die charakteristischen Polynome von \(A\) und \(B\) gleich.
Teil (ii) folgt aus (i) dadurch, dass der Koeffizient der zweithöchsten Potenz des charakteristischen Polynoms gleich der negativen Spur einer quadratischen Matrix ist.