Matrix mit invertierbaren Mengen

Question

Warum gibt es zu jeder Matrix \( M \) invertierbare Matrizen \( Q \) und \( P \) mit
\( Q M P=\left(\begin{array}{cc} \mathbb{1}_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right) ? \)

Answer 1

Hallo, mit Elementarmatrizen kann man durch Multiplikation mit einer Matrix \(A\) die Zeilen und Spalten von \(A\) linear kombinieren. Eine Multiplikation von links einer Elementarmatrix bewirkt eine Linearkombination der Spalten und eine Multiplikation von rechts mit einer Elementarmatrix bewirkt eine Linearkombination der Zeilen.

Elementarmatrizen sind invertierbar und damit sind auch Produkte von Elementarmatrizen invertierbar.