Aloha :)
Du musst die quadrierte Matrix mit der geforderten Matrix vergleichen. Zur Bestimmung eines Kandidaten für \(a\) brauchen wir nicht die komplette Matrix-Quadrierung durchzuführen. Es reicht völlig, wenn wir das Element rechts oben bestimmen, denn dieses soll ja gleich \(0\) sein.
$$\left(\begin{array}{c}a & 0,5\\1-a &0,5\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}a & 0,5\\1-a &0,5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}? & 0,5a+0,25\\? & ?\end{array}\right)\stackrel!=\begin{pmatrix}1 & 0\\1 & 0\end{pmatrix}$$
Daraus erhalten wir den Kandidaten für \(a\):$$0,5a+0,25\stackrel!=0\implies\frac{1}{2}a=-\frac{1}{4}\implies a=-\frac{1}{2}$$
Wir prüfen nach, ob dieser einzig mögliche Kandidat etwas taugt:
$$A^2=\left(\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[1ex]\frac{3}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[1ex]\frac{3}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right)=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\ne\begin{pmatrix}1 & 0\\1 & 0\end{pmatrix}$$Es gibt also keine reelle Zahl \(a\), die die Forderung realisiert.
