Für welche alpha kann man eine Basis des Vektrorraumes bilden?

Question

Aufgabe:

Es seien für \( \alpha \in \mathbb{R} \) die Vektoren gegeben:
\( v_{1}=\left(\begin{array}{c} \alpha \\ \alpha \\ \alpha-3 \end{array}\right), \quad v_{2}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \alpha+2 \\ \alpha-3 \end{array}\right), \quad v_{3}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ \alpha \\ \alpha-3 \end{array}\right) \)
(i) Berechnen Sie \( \operatorname{det}(A), \) wobei \( A:=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \) die Vektoren als Spalten hat.
(ii) Für welche \( \alpha \in \mathbb{R} \) bilden \( \left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \) eine Basis des \( \mathbb{R} \) -Vektorraums \( \mathbb{R}^{3} \) ?

Problem/Ansatz:

kann mir bitte jemand ausführlich die ii erklären, wie ich festlegen kann für welche alpha, das eine Basis ergibt? Ich habe leider überhaupt keinen Plan, wie man das macht...

Danke für eure Hilfe

Comments

Was ist die Definition einer Basis?

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Wenn ich das wüsste...

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Du redest von Vektoren und Vektorräumen und weißt nicht, was eine Basis ist? Guter Witz.

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Vielen Dank, dass du mir so sehr weiterhilfst. Ich dachte das ist ein Forum, wo man sich an Leute wendet, die einem weiterhelfen können...

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Ich würde Dir gerne helfen, aber Basen und Vektorräume gehören zwingend zueinander, und wenn Du nicht verstehst, was eine Basis ist, ist jede weitere Frage zu einem Vektorraum völlig sinnlos. Also lies erst einmal in Deinem Skript, was eine Basis ist, dann reden wir weiter.

Answer 1

Eine Basis eines Vektorraumes ist eine

Familie von Vektoren, die den ganzen Raum erzeugen

und die linear unabhängig sind. Für R^3 haben

alle Basen 3 Elemente, und wenn die linear unabhängig sind,

reicht das schon, dass sie eine Basis sind.

Mit der Determinante aus a) hast du es schon fast

fertig, denn: Die Vektoren sind linear unabhängig,

wenn det ≠ 0.

Also setze deine Determinante = 0 ,

das gibt a)3 oder a=-1 oder a=-2 .

Für die drei Werte ist es keine Basis,

sonst immer.