Kreuzprodukt aus Vektoren in Abhängigkeit zu einem Vektor

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die folgenden Vektoren:

\( \vec{u}=\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}, \vec{v}=\begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix}, \vec{w}=\begin{pmatrix} x+2\\y+4\\z-6 \end{pmatrix} \)

Bestimmen Sie \(x,y,z\) so, dass \( \vec{u} \times \vec{v}=\vec{w} \)

Problem/Ansatz:

Habe versuchst mit der Formel für das Kreuzprodukt ein LGS aufzustellen:

1. \( y-z=x+2 \Leftrightarrow -x+y-z=2 \)

2. \( z+x=y+4 \Leftrightarrow x-y+z=4 \)

3. \( -x+y=z-6 \Leftrightarrow -x+y-z=-6 \)

Allerdings habe ich nach den Umformen in Zeile 1 und 3 einen Widerspruch, weil \( -x+y-z \) nicht gleichzeitig 2 und -6 sein kann. Habe ich irgendwo einen Logik- oder Rechenfehler oder ist die Aufgabe tatsächlich nicht lösbar?

Comments

Von Seiten der Analysis ist die Aufgabe ja langweilig. Interessant wird es, wenn man eine geometrische Lösung sucht.

Der Vektor \(\vec w\) (grün) liegt in einer Ebene, die durch ihren Normalenvektor \(\vec v\) gegeben ist. Da gleichzeitig \(\vec u \perp \vec w\) gilt, muss \(\vec w\) auf einer Kugeloberfläche liegen, deren Mittelpunkt \((\vec w- \vec u)/2\) ist,mit dem Radius \(|\vec w - \vec u|/2\).

Die Schnittmenge ist der Kreis in der Szene, auf den der Endpunkt von \(\vec w\) liegen muss. Aber nur an einer Stelle passt auch der Betrag \(|\vec w|\) zum Betrag des Kreuzprodukts \(\vec u\times \vec v\)

Answer 1

In der 1. Zeile bekomme ich y+z = x+2

und in 2                  z - x = ...

und in 3                 -x-y = ............

Comments

Ah verdammte Vorzeichenfehler. Stimmt ja, in der 1. Zeile steht eigentlich y-(-z) was zu y+z wird.. Dankeschön.