Berechnen Sie das Volumen des Körpers die um Y Achse rotiert.

Question

Aufgabe:

Hallo Mathefreunde,

bin gerade bei Volumenberechnungen jedoch verstehe ich dieser eine Beispiel nicht.

Berechnen Sie das Volumen des Körpers die um Y Achse rotiert.

Funktion lautet f(x)= ln(x)

Intervall (0/1)

Danke

Comments

jedoch verstehe ich dieser eine Beispiel nicht.

Was nutzt es, wenn es dir jemand vorrechnet, und du verstehst es dann immer noch nicht?

Wie sieht die Beispielrechnung aus, auf die du dich beziehst?

Und was konkret verstehst du daran nicht?

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Stimmt hast du recht!

problem ist soweit ich es verstanden habe muss man bei Y Achse rotation beispiele  den Funktion auf x auflösen, indem fall F(x)=y=ln(x)

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Bei Rotation um die x-Achse wäre es:

\( \pi \int \limits_{0}^{1} \log ^{2}(x) d x=2 \pi \approx 6.2832 \)

Leider habe ich die y-Achse überlesen.

 :-)

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Hast du "Rotation um die y-Achse" gelesen und erfasst?

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Upps...

Rotationsvolumen und zack, daneben...

:-)

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Es rotiert nicht der Körper um die y-Achse sondern allenfalls der Graph der Funktion.

Answer 1

Aloha :)

Bei der Rotation einer Funktion \(f(x)\) im Intervall \(x\in[x_1;x_2]\) um die \(y\)-Achse entstehen Kreise mit Radius \(x\) und Fläche \(\pi x^2\). Diese Kreise müssen wir entlang der \(y\)-Achse summieren bzw. integrieren, um das Volumen \(V\) des Rotationskörpers zu erhalten:$$V=\int\limits_{y(x_1)}^{y(x_2)}\pi\,x^2\,dy=\int\limits_{x_1}^{x_2}\pi x^2\frac{dy}{dx}\,dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\pi x^2 f'(x)\,dx$$Wir setzen die Rahmenparameter ein:$$V=\int\limits_0^1\pi x^2\left(\ln x\right)'\,dx=\int\limits_0^1\pi x^2\,\frac{1}{x}\,dx=\int\limits_0^1\pi x\,dx=\left[\pi\,\frac{x^2}{2}\right]_0^1=\frac{\pi}{2}$$

Comments

Danke für Ihre ausführliche Antwort, bin grad aber verwirrt.

wir haben diesen Formel angewendet:

Vy=\( \int\limits_{y1}^{y2} \) \( x^{2} \)*π dy

Beispiel:

zb. f(x)= \( \frac{x^2}{4} \) habe wir immer nach X aufgelöst in dem Fall x=\( \sqrt{4y} \).

Vy=\( \int\limits_{y1}^{\infty2} \) \( x^{2} \)*π dy

=\( \int\limits_{0}^{4} \) (\( \sqrt{4y} \))^2*π dy

=\( \int\limits_{0}^{4} \) 4y*π dy

=π*\( \frac{4Y^2}{2} \)

=π*{(2*\( 4^{2} \) )-(2*\( 0^{2} \) )}

=π*{(32)-(0)}

=Vy=32π*e ^{\( 3^{} \)}

^{daher war meine Frage wie ich F(x)=y=ln(x) auf y Achse auflöse.}

ps: es tut mir leid aber leider wegen Corona sind wir im moment in distance learning und dieses Volumenberechnung sprich Rotation um y Achse habe ich nicht richtig verstanden!

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Die Formel aus deinem Unterricht ist korrekt:$$V_y=\int\limits_{y_1}^{y_2}\pi\,x^2\,dy$$Das Problem bei dieser Formel ist jedoch, dass man von der Funktion \(f(x)\) zuerst die Umkehrfunktion bilden muss. Daher haben wir eine Substitution durchgeführt:$$dy=\frac{dy}{dx}\,dx=f'(x)\,dx$$durchgeführt und die folgende Formel hergeleitet:$$V_y=\int\limits_{x_1}^{x_2}\pi x^2\,f'(x)\,dx$$Dabei brauchst du dann nicht die Umkehrfunktion zu \(f(x)\), sondern nur die Ableitung \(f'(x)\). Das ist in der Regel schneller und einfacher zu berechnen.

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Danke noch einmall für detaillierte Erklärung , bin froh. das es noch Leute gibt die nicht gleich Vorurteilen!

Ja wir haben bis jetzt immer mit Umkehrfunktion gemacht daher muss ich mich noch einlernen.

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Hallo ich bins wieder;

\( y^{2} \)=2x-1        c=1; d=3

mit Umkehrfunktion habe ich es lösen können aber mit Ableitung sowie Sie es erklärt haben komme ich nicht weiter oder kann man das nur unter bestimmte Voraussetzungen anwenden

das hier ist meine Lösung

\( y^{2} \)=2x-1

x=\( \frac{1+y^2}{2} \)

\( \int\limits_{1}^{3} \) π*(\( \frac{1+y^2}{2} \))\( ^{2} \)*dy=53.19\( e^{3} \)

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habe es in der Zwischenzeit gelöst

\( y^{2} \) =2x-1 |*\( \sqrt{} \)

y=\( \sqrt{2x-1} \)

diese abgeleitet ergibt \( \frac{1}{\sqrt{2x-1}} \)

Integrationsgrenzen sind 1 und 5