Die beiden Geraden g und h schneiden sich nicht.

Question

Text erkannt:

Aufgabe
3
Die beiden Geraden \( \mathrm{g} \) und \( \mathrm{h} \) schneiden sich nicht. Geben Sie einen Stutz- bzw. einen Richtungsvektor so an, dass g und h windschief bzw. parallel sind.
a) \( \left.g: \vec{x}=\mid \begin{array}{l}1 \\ 3\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ \frac{1}{2} \\ -0,5\end{array}|, h: \vec{x}=| \begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ \end{array} \mid,\right. \) g soll parallel zu h sein
b) \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}2 \\ \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 4\end{array}\right), h: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}0 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ \end{array}\right), g \) soll parallel \( z u h \) sein
c) \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 0\end{array}\right), h: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right) \), g und h sollen windschief sein

Würde mich freuen wenn mir das jemand für die Stützvektoren erklärt, die Richtungsvektoren habe aber ich theoretisch, würde mich trotzdem über eine komplette Lösung freuen ^^

Answer 1

Hallo,

wenn die Richtugnsvektoren ein Vielfaches voneinanders sind, sind die Geraden parallel oder identisch. Als Richtungsvektor für h könntest du \( \begin{pmatrix} 2 \\1\\-1 \end{pmatrix} \) wählen. Um zu gewährleisten, dass die Geraden nicht identisch sind, darf a nicht -2 sein.

Das kannst du mit der Punktprobe festellen:

\(\begin{pmatrix} 0\\2\\2 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\\1\\3 \end{pmatrix}\)

Die 2. und 3. Zeile des Gleichungssystems ergeben s = -1, eingesetzt in die 1. Gleichung wäre dann a = -2. Also kannst du alle Zahlen außer dieser nehmen.

Gruß, Silvia

Comments

Könntest du die Punktprobe genauer erläutern. Warum darf a nicht -2 und was ist der Zusammenhang dieser Probe um zu differenzieren, ob die geraden parallel oder identisch sind. Danke

---

Der Punkt (-2|2|2) liegt auf g. Läge er auch auf h, wären die Geraden identisch, da die Geraden die gleiche Richtung haben und sich nicht nur in diesem Punkt schneiden.

Mit anderen Worten: Sind zwei Geraden linear abhängig, dann sind sie identisch, wenn sie einen gemeinsamen Punkt haben.

---

Woher weiß man , dass der Punkt (-2/2/2) auf g liegt ?

---

Wir haben

\(g:\;\vec{x}=\begin{pmatrix} a\\1\\3 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 1\\0,5\\-0,5 \end{pmatrix}\)

t = 2 ergibt dann für h die Gleichung

\(h:\;\vec{x}=\begin{pmatrix} 0\\2\\2 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix}\).

Beide Geraden sind wegen der linearen Abhängikeit ihrer Richtungsvektoren parallel.

Nun soll noch a bestimmt werden, aber so, dass der sich daraus ergebende Punkt nicht auf h liegt.

Läge er darauf, könnten wir schreiben

\(\begin{pmatrix} 0\\2\\2 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\\1\\3 \end{pmatrix}\)

Damit kann ich ein Gleichungssystem aufstellen, um s zu bestimmen:

\(0+2s=a\\ 2+s=1\quad \Rightarrow\quad s=-1\\ 2-s=3\quad \Rightarrow \quad s=-1\)

Setze ich jetzt -1 für s in die 1. Gleichung ein, erhalte ich -2 = a.

Der Punkt (-2|2|2] liegt also auf h. Läge er auch auf g, wären die Geraden identisch. Deshalb darf a nicht -2 sein.

Jetzt verständlich?