linear unabhängig abhängig

Question

Meine Frage geht um linear unabhängige Vektoren:

Gelernt habe ich, dass Vektoren immer dann l.u. wenn beim Gauß keine Nullzeile entstehen.

Nun habe ich zur Übung die 4 Vektoren (0 1 0 3 4), (1 0 2 3 4), (-1 2 3 4 5), (2 0 3 0 2) auf l.u. überprüft und nach dem Gauß wird die letze Zeile zur Nullzeile. Meiner Definition nach bedeutet das, dass die vier Vektoren l.a. sind. Aber nach der Lösung sind diese eben l.u.

Kann es sein, dass wenn ich angenommen vier Vektoren auf l.u. überprüfen soll, das min. 4 Zeilen beim Gauß keine Nullzeilen sein dürfen?

gibt es da irgendeine andere Definition?

Answer 1

Du hast ja 4 Vektoren in R^5.

Wenn du die als Spalten in eine Matrix

schreibst und Gauss anwendest, kommt natürlich

eine Nullzeile heraus; denn die Dimension

des von den 4en aufgespannten Unterraumes,

kann ja ja höchstens 4 sein, und wenn sie 4 ist,

dann sind sie linear unabhängig.

Merkregel wäre vielleicht:

Wenn nach dem Weglassen der

Nullzeilen eine quadratische Matrix

übrig bleibt, dann sind die Vektoren

lin. unabhängig.

Answer 2

gibt es da irgendeine andere Definition?

Natürlich gibt es die .

Eine Menge von Vektoren ist voneinander linear unabhängig, wenn die einzige Möglichkeit, mit einer Linearkombination dieser Vektoren den Nullvektor zu erzeugen, die ist, bei der alle Faktoren von den Vektoren 0 sind.

Answer 3

Gelernt habe ich...

Hallo,

da hast Du Dir etwas Falsches notiert. Dein Beispiel ist ein Gegenbeispiel. Aber Du kannst es auch einfach auf den Punkt bringen: Die Spalten-Vektoren in

$$\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \\0&0\end{pmatrix}$$

sind linear unabhängig, haben aber als letztes eine Null-Zeile.

Gruß

Comments

Ja danke meine Definition bezieht sich dann lediglich auf Vektoren, die eine Matrix mit A^pxp aufspannen

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Ja, dann (Zeilenzahl = Spaltenzahl) ist es richtig.

Gruß MahePeter