Vektorraumbeweise linear abhängig/unabhängig

Question

Ich bin im Bereich der Vektoren noch nicht wirklich fit und hänge beim Beweis der Aufgabe.

Normalerweise müsste ich hier ja nach einer Determinanten suchen aber dadurch, dass es so allgemein gehalten ist wird mir nicht ganz klar wie und wo ich überhaupt hin will.

Es sei \( V \) ein Vektorraum und \( v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n} \in V \). Zeigen Sie:
(a) Gilt \( \left\langle v_{1}, \ldots, v_{n}\right\rangle=V \), so gilt auch \( \left\langle v_{1}-v_{2}, v_{2}-v_{3}, \ldots, v_{n-1}-v_{n}, v_{n}\right\rangle=V \).
(b) Sind \( v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n} \) linear unabhängig, so sind auch \( v_{1}-v_{2}, v_{2}-v_{3}, \ldots, v_{n-1}-v_{n}, v_{n} \)
linear unabhängig.

Answer 1

(a) Vollständige Induktion über \(n\)

Sei \(v = \sum\limits_{k=1}^{n+1}\alpha_iv_i\in \langle v_1,\dots,v_{n+1}\rangle\).

Dann ist \(v-\alpha_{n+1}v_{n+1} = \sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_iv_i \in \langle v_1,\dots,v_n\rangle\).

Seien \(\beta_1,\dots \beta_n\in K\) mit \(v-\alpha_{n+1}v_{n+1} = \sum\limits_{k=1}^{n-1}\beta_i\left(v_i-v_{i+1}\right) + \beta_nv_n\).

Dann ist

        \(\begin{aligned}v &= \sum\limits_{k=1}^{n-1}\beta_i\left(v_i-v_{i+1}\right) + \beta_nv_n + \alpha_{n+1}v_{n+1}\\&=\sum\limits_{k=1}^{n-1}\beta_i\left(v_i-v_{i+1}\right) + \beta_n\left(v_n-v_{n+1}\right) + \left(\beta_n+\alpha_{n+1}\right)v_{n+1}\\&=\sum\limits_{k=1}^{n}\beta_i\left(v_i-v_{i+1}\right)  + \left(\beta_n+\alpha_{n+1}\right)v_{n+1}\\&\in \left\langle v_{1}-v_{2}, v_{2}-v_{3}, \ldots, v_{n}-v_{n+1}, v_{n+1}\right\rangle\end{aligned}\).

Bei (b) würde ich versuchen nachzuweisen: Wenn \(v=0\) ist, dann sind auch die \(\beta_i = 0\).

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort :).

Wie wäre bei (b) der Ansatz? So ganz komm ich immer noch nicht hintenher.