Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge...
Ich würde hier gar nicht groß rumrechnen, sondern mit der Bedeutung des Binomialkoeffizienten argumentieren.
Wir gehen von der rechten Seite aus. \(\binom{2n}{n}\) ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus \(2n\) Objekten genau \(n\) auszuwählen. Wir teilen die \(2n\) Objekte in 2 gleich große Gruppen mit jeweils \(n\) Objekten auf. Dann können wir aus der ersten Gruppe \(k\) Objekte auswählen. Dafür gibt es \(\binom{n}{k}\) Möglichkeiten. Aus der zweiten Gruppe müssen dann die noch fehlenden \((n-k)\) Objekte gewählt werden. Dafür gibt es \(\binom{n}{n-k}\) Möglichkeiten. Da wir noch die Freiheit haben, aus der ersten Gruppe \(k=0\), \(k=1\), \(k=2\), ... oder \(k=n\) Objekte auszuwählen, gilt:$$\binom{2n}{n}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot\binom{n}{n-k}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot\binom{n}{k}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}^2$$
