Skalarprodukt für folgende Abbildung

Question

Aufgabe:

10. [Typ 2 aus 4$]$ Die Abbildung $\mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},\left(\left(x_{1}, x_{2}\right),\left(y_{1}, y_{2}\right)\right) \mapsto 3 x_{1}+5 y_{2}$
(a) ist kein Skalarprodukt auf $\mathbb{R}^{2}$.
(b) ist nicht bilinear.
(c) ist bilinear.
(d) ist ein Skalarprodukt auf $\mathbb{R}^{2}$.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ein Skalarprodukt

linear,
symmetrisch,
(x,y)>0 außer x=y=0
sein muss. Allerdings verstehe ich die Notation (x1,x2),(y1,y2) nicht. Bilden jetzt x1 und x2 ein gemeinsames x? Oder wird in der Abbildung nur x1 verwendet und es ist daher nicht mehr symmetrisch?

Answer 1

Bilden jetzt x1 und x2 ein gemeinsames x?   Ja, genau !

Und wenn diese Abbildung einen Namen bekommt

( oft sowas wie <  (x1,x2) , (y1,y2)> = 3x1 + 5y2  )

Wenn du also etwa Symmetrie prüfen willst, musst du schauen,

ob immer <  (x1,x2) , (y1,y2)> = < (y1,y2) , (x1,x2) > gilt, also

                     3x1+5y2            =    3y1 +  5x2

und da findest du schnell ein Gegenbeispiel, also ist das

kein Skalarprodukt.

Für Bilinearität müsste gelten

<  (a1,a2)+(b1,b2) , (y1,y2)> =<  (a1,a2), (y1,y2)> + < (b1,b2) , (y1,y2)>

und Entsprechendes für die 2. Komponente.